（2011•浦东新区三模）已知椭圆C的长轴长是焦距的两倍，其左、右焦点依次为F1、F2，抛物线M：y2=4mx（m＞0）的准线与x轴交于F1，椭圆C与抛物线M的一个交点为P．（1）当m=1时，求椭圆C的方

题目详情

（2011•浦东新区三模）已知椭圆C的长轴长是焦距的两倍，其左、右焦点依次为F₁、F₂，抛物线M：y²=4mx（m＞0）的准线与x轴交于F₁，椭圆C与抛物线M的一个交点为P．
（1）当m=1时，求椭圆C的方程；
（2）在（1）的条件下，直线l过焦点F₂，与抛物线M交于A、B两点，若弦长|AB|等于△PF₁F₂的周长，求直线l的方程；
（3）由抛物线弧y²=4mx(0≤x≤

)和椭圆弧

4m2

3m2

＝1(

≤x≤2m)
（m＞0）合成的曲线叫“抛椭圆”，是否存在以原点O为直角顶点，另两个顶点A₁、A₂落在“抛椭圆”上的等腰直角三角形OA₁A₂，若存在，求出两直角边所在直线的斜率；若不存在，说明理由．

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答案和解析

（1）设椭圆的实半轴长为a，短半轴长为b，半焦距为c，
当m=1时，由题意得，a=2c=2，b²=a²-c²=3，a²=4，
所以椭圆的方程为

＝1．
（2）依题意知直线l的斜率存在，设l：y=k（x-1），由

y2＝4x

y＝k(x−1)

得，k²x²-（2k²+4）x+k²=0，
由直线l与抛物线M有两个交点，可知k≠0．设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由韦达定理得x1+x2＝

2k2+4

，则|AB|＝x1+x2+2＝4•

1+k2

又△PF₁F₂的周长为2a+2c=6，所以4•

1+k2

＝6，
解得k＝±

，从而可得直线l的方程为2x±

y−2＝0
（3）由题意得，“抛椭圆”由抛物线弧y2＝4mx(0≤x≤

)和椭圆弧

4m2