已知某椭圆的焦点是F1（-4，0）、F2（4，0），过点F2并垂直于x轴的直线与椭圆的一个交点为B，且|F1B|+|F2B|=10，椭圆上不同的两点A（x1，y1）、C（x2，y2）满足条件：|F2A|、|F2B|、|F2C|成等差数列

Question

已知某椭圆的焦点是F₁（-4，0）、F₂（4，0），过点F₂并垂直于x轴的直线与椭圆的一个交点为B，且|F₁B|+|F₂B|=10，椭圆上不同的两点A（x₁，y₁）、C（x₂，y₂）满足条件：|F₂A|、|F₂B|、|F₂C|成等差数列．
（Ⅰ）求该椭圆的方程；
（Ⅱ）求弦AC中点的横坐标．

Answer 1

（1）由椭圆定义及条件，可得
2a=|F₁B|+|F₂B|=10，得a=5．
又∵c=4，∴b=√(a2−b2)=3．
因此可得该椭圆方程为(x2)/(25)+(y2)/(9)＝1．
（2）∵点B（4，y_B）在椭圆上，
∴将x=4，代入椭圆方程求得y_B=(9)/(5)，可得|F₂B|=|y_B|=(9)/(5)．
∵椭圆右准线方程为x=(a2)/(c)，即x=(25)/(4)，离心率e=(c)/(a)=(4)/(5)．
根据圆锥曲线统一定义，得
|F₂A|=(4)/(5)（(25)/(4)-x₁），|F₂C|=(4)/(5)（(25)/(4)-x₂）．
由|F₂A|、|F₂B|、|F₂C|成等差数列，得2|F₂B|=|F₂A|+|F₂C|
即(4)/(5)（(25)/(4)-x₁）+(4)/(5)（(25)/(4)-x₂）=2×(9)/(5)，由此解得x₁+x₂=8．
设弦AC的中点为P（x₀，y₀），
可得中点横坐标为则x₀=(1)/(2)（x₁+x₂）=4．