如图，椭圆的中心在坐标原点，长轴端点为A、B，右焦点为F，且AF•FB＝1，|OF|＝1．（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）过椭圆的右焦点F作直线l1，l2，直线l1与椭圆分别交于点M、N，直线l2与椭

题目详情

如图，椭圆的中心在坐标原点，长轴端点为A、B，右焦点为F，且

•

＝1，|

|＝1．
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）过椭圆的右焦点F作直线l₁，l₂，直线l₁与椭圆分别交于点M、N，直线l₂与椭圆分别交于点P、Q，且|

|2+|

|2＝|

|2+|

|2，求四边形MPNQ的面积S的最小值．

▼优质解答

答案和解析

（Ⅰ）设椭圆的方程为

＝1（a＞b＞0），
则由题意知c=1，
又∵

•

＝1
∴（a+c）（a-c）=1=a²-c²
∴a²=2
∴b²=a²-c²=1，
故椭圆的方程为：

+y2＝1；
（Ⅱ）设M（x_M，y_M），N（x_N，y_N），P（x_P，y_P），Q（x_Q，y_Q）．
则由题意：|

|2+|

|2＝|

|2+|

|2
整理得：（x_N-x_M）（x_P-x_Q）+（y_N-y_M）（y_P-y_Q）=0．
所以l₁⊥l₂．
①若直线l₁，l₂中有一条斜率不存在，不妨设l₂的斜率不存在，则可得l₂⊥x轴，
∴|MN|=2

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