（2012•河南模拟）如图，焦距为2的椭圆E的两个顶点分别为A和B，且AB与n＝(2，−1)共线．（Ⅰ）求椭圆E的标准方程；（Ⅱ）若直线y=kx+m与椭圆E有两个不同的交点P和Q，且原点O总在以PQ为直径

Question

（2012•河南模拟）如图，焦距为2的椭圆E的两个顶点分别为A和B，且

AB

与

n

＝(√(2)，−1)共线．
（Ⅰ）求椭圆E的标准方程；
（Ⅱ）若直线y=kx+m与椭圆E有两个不同的交点P和Q，且原点O总在以PQ为直径的圆的内部，求实数m的取值范围．

Answer 1

（Ⅰ）设椭圆E的标准方程为(x2)/(a2)+(y2)/(b2)＝1 (a＞b＞0)，
由已知得A（a，0）、B（0，b），
∴

AB

＝(−a，b)，
∵

AB

与

n

＝(√(2)，−1)共线，
∴a＝√(2)b，又a²-b²=1（3分）
∴a²=2，b²=1，
∴椭圆E的标准方程为(x2)/(2)+y2＝1（5分）
（Ⅱ）设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
把直线方程y=kx+m代入椭圆方程(x2)/(2)+y2＝1，
消去y，得，（2k²+1）x²+4kmx+2m²-2=0，
∴x1+x2＝−(4km)/(2k2+1)，x1x2＝(2m2−2)/(2k2+1)（7分）
△=16k²m²-4×（2k²+1）（2m²-2）=16k²-8m²