已知椭圆C：x2a2+y2b2＝1（a＞b＞0）的焦距为4，且与椭圆x2+y22＝1有相同的离心率，斜率为k的直线l经过点M（0，1），与椭圆C交于不同两点A、B．（1）求椭圆C的标准方程；（2）当椭圆C的右焦点

Question

已知椭圆C：(x2)/(a2)+(y2)/(b2)＝1（a＞b＞0）的焦距为4，且与椭圆x2+(y2)/(2)＝1有相同的离心率，斜率为k的直线l经过点M（0，1），与椭圆C交于不同两点A、B．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）当椭圆C的右焦点F在以AB为直径的圆内时，求k的取值范围．

Answer 1

（1）∵焦距为4，∴c=2…（1分）
又∵x2+(y2)/(2)＝1的离心率为(√(2))/(2)…（2分）
∴e＝(c)/(a)＝(2)/(a)＝(√(2))/(2)，∴a=2√(2)，b=2…（4分）
∴标准方程为(x2)/(8)+(y2)/(4)＝1…（6分）
（2）设直线l方程：y=kx+1，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由

y＝kx+1

(x2)/(8)+(y2)/(4)＝1

得（1+2k²）x²+4kx-6=0…（7分）
∴x₁+x₂=(−4k)/(1+2k2)，x₁x₂=(−6)/(1+2k2)

作业帮用户 2017-09-17 举报