已知椭圆C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的左右焦点分别为F1（-c，0），F2（c，0），直线l：x=my+c与椭圆C交于两点M、N，且当m=-33时，M是椭圆C的上顶点，且△MF1F2的周长为6．设椭圆C的左顶点为A，直线

Question

已知椭圆C：(x2)/(a2)+(y2)/(b2)=1（a＞b＞0）的左右焦点分别为F₁（-c，0），F₂（c，0），直线l：x=my+c与椭圆C交于两点M、N，且当m=-(√(3))/(3)时，M是椭圆C的上顶点，且△MF₁F₂的周长为6．设椭圆C的左顶点为A，直线AM、AN与直线x=4分别相交于点P、Q，当m变化时，以线段PQ为直径的圆被x轴截得的弦长为（　　）

A．4
B．5
C．6
D．7

Answer 1

根据题意，m=-(√(3))/(3)时，M是椭圆C的上顶点，
∴M（0，b），F₁（-c，0），F₂（c，0），
∴-(√(3))/(3)b+c=0．①
又∵且△MF₁F₂的周长为6．
∴2a+2c=0，②，
由①得 
b=√(3)c，
由②得，
a=3-c，
∵a²-b²=c²，
∴c=1
∴a=2，b=√(3)，
∴椭圆的标准方程为：(x2)/(4)+(y2)/(3)＝1，
当m=0时，直线l的方程为x=1．此时，M，N点的坐标分别是
（1，(3)/(2)），（1，-(3)/(2)），
∵又A点坐标是（-2，0），由图可以得到P，Q两点坐标分别是（4，3），（4，-3），
以PQ为直径的圆过右焦点，被x轴截得的弦长为6，
猜测当m变化时，以PQ为直径的圆恒过焦点F₂，被x轴截得的弦长为定值6，
证明如下：
设点M，N点的坐标分别为（x₁，y₁），（x₂，y₂），
∴则直线AM的方程是(y)/(y1)＝(x+2)/(x1+2)，
即得P（4，(6y1)/(x1+2)），
同理，得（4，(6y2)/(x2+2)），
联立方程组

(x2)/(4)+(y2)/(3)＝1

x＝my+1

，整理，得
（3m²+4）y²+6my-9=0，
∴y₁+y₂=-(−6m)/(3m2+4)，y₁y₂=(−9)/(3m2+4)，
∴

F2P

•

F2Q

=（4-1）（4-1）+(36y1y2)/(√((x1+2)(x2+2)))
=9+(36Y1y2)/((my1+3)(my2+3))
=9+(36y1)/(&);y2m2y1&;y2+3m(y1+y2)+9
=9+(−9×36)/(−9m2−18m2+27m2+36)
=0，
∴以PQ为直径的圆恒过焦点F₂，被x轴截得的弦长为定值6，



故选：C．