纯循环小数0.abcd写成最简分数时,分子和分母的和是150,则四位数abcd等于

Question

纯循环小数0.abcd写成最简分数时,分子和分母的和是150,则四位数abcd等于

Answer 1

设该循环小数为x=0.abcdabcdabcd...,则10000x=abcd.abcdabcdabcd...相减得9999x=abcd,x=abcd/9999,故须将abcd和9999约分.而9999=3*3*11*101,所以可看作：3*3333、9*1111、11*909、33*303、99*101,由于最后约分后分子、分母的和为150,所以约分后分母必须小于150,所以约去的数可能是：3333、1111、909、303、101或99.分别讨论上面6种情况：当约去的数是3333时,分母剩下为3,所以分子最后是150-3=147,所以abcd=147*3333,明显这是错误的,因为结果肯定不是四位数,依次对上述剩下的另5种情况进行计算,最后可以发现当约去的数为99的时候,分子为49,所以abcd=49*99=4851,符合题意.所以四位数abcd为4851,且分子、分母分别是49和101.