求过点（2,2）的曲线方程,该曲线上任意点法线方程与原点的距离等于该任意点纵坐标的绝对值

Question

求过点（2,2）的曲线方程,该曲线上任意点法线方程与原点的距离等于该任意点纵坐标的绝对值

Answer 1

设曲线方程是y=f(x),
在点(m,f(m))的切线斜率=f'(m),
法线l方程是y-f(m)=[-1/f'(m)](x-m),即x+yf'(m)-m-f(m)f'(m)=0,
原点到l的距离|m+f(m)f'(m)|/√{1+[f'(m)]^2}=|f(m)|,
平方得m^2+2mf(m)f'(m)+[f(m)f'(m)]^2=[f(m)]^2+[f(m)f'(m)]^2,
化简得m^2+2mf(m)f'(m)-[f(m)]^2=0,
换成微分方程：x^2+2xyy'-y^2=0,①
由2xy'=y得dy/y=dx/(2x),y=c√x,
设y=c(x)*√x,则y'=c'(x)*√x+c(x)/(2√x),
代入①得x^2+c(x)*√x[2x√x*c'(x)]=0,
约去x^2,得1+2c(x)*c'(x)=0,
积分得[c(x)]^2+x=c,
取c(x)=√(c-x),
∴y=√[x(c-x)],
x=2时y=2,
∴2=√[2(c-2)],解得c=4,
∴所求曲线方程是y=√[x(4-x)].