三角形ABC是以a为边长的正三角形.O为中心.过O点的直线交AB于M交AC于N.求1/OM的平方+1/ON的平方的最大值复制的不要

Question

三角形ABC是以a为边长的正三角形.O为中心.过O点的直线交AB于M交AC于N.求1/OM的平方+1/ON的平方的最大值
复制的不要

Answer 1

才5分啊,计算很复杂.
先作OD⊥AB;OE⊥AC;则OD=OE=h=(a根号3)/6;
设MN与AB夹角α,那么,MN与AC夹角120°-α；
MO=h/sinα；ON=h/sin(120°-α）；
则原式=1/MO^2+1/NO^2=12(sinα^2+sin(120°-α）^2)/a^2;
书写方便,设f(α）=sinα^2+sin(120°-α）^2=3/4+sinα^2/2+根号3sin2α/4
=1+sin(2α-30°）/2;
所以,fmax=3/2;
所以,原式最大值=18/a^2;MN∥BC时取最大值.