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高中参数方程最小值问题已知3x^2+2y^2=6x+3,求x+y的最小值.
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高中参数方程最小值问题
已知3x^2+2y^2=6x+3,求x+y的最小值.
已知3x^2+2y^2=6x+3,求x+y的最小值.
▼优质解答
答案和解析
方法一
令x+y=z,问题转化为求z的最小值.
y=z-x代入3x²+2y²=6x+3化简得
5x²-(4z+6)x+(2z²-3)=0
上面可看成一个关于x的一元二次方程,所以
判别式△=(-4z-6)²-4*5(2z²-3)≥0
化简得z²-2z-4≤0
解不等式得1-√5≤z≤1+√5
方法二
3x²+2y²=6x+3变形得(x-1)²/2+y²/3=1,利用椭圆的参数方程
令x=1+√2cosθ,y=√3sinθ,则
x+y=1+√2cosθ+√3sinθ=1+√5sin(θ+φ) (tanφ=√(2/3))
x+y的最小值为1-√5.
令x+y=z,问题转化为求z的最小值.
y=z-x代入3x²+2y²=6x+3化简得
5x²-(4z+6)x+(2z²-3)=0
上面可看成一个关于x的一元二次方程,所以
判别式△=(-4z-6)²-4*5(2z²-3)≥0
化简得z²-2z-4≤0
解不等式得1-√5≤z≤1+√5
方法二
3x²+2y²=6x+3变形得(x-1)²/2+y²/3=1,利用椭圆的参数方程
令x=1+√2cosθ,y=√3sinθ,则
x+y=1+√2cosθ+√3sinθ=1+√5sin(θ+φ) (tanφ=√(2/3))
x+y的最小值为1-√5.
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