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正三棱锥底面三角形的边长为3，侧棱长为2，则其体积为（）A．14B．12C．34D．94

题目详情
正三棱锥底面三角形的边长为
3
，侧棱长为2，则其体积为（　　）

A．
1
4

B．
1
2

C．
3
4

D．
9
4
3
，侧棱长为2，则其体积为（　　）

A．
1
4

B．
1
2

C．
3
4

D．
9
4
3
3
3

1
4

B．
1
2

C．
3
4

D．
9
4
1
4
1144
1
2

C．
3
4

D．
9
4
1
2
1122
3
4

D．
9
4
3
4
3344
9
4
9
4
9944
▼优质解答
答案和解析
如图，在正三棱锥P-ABC中，底面边长AB=
3
，侧棱长PA=2，
设顶点P在底面的射影为O，连接CO并延长，交AB与点D；
连接PD，则CD⊥AB，PD⊥AB；
在正△ABC中，AB=
3
，
∴CD=
3
2
•AB=
3
2
×
3
=
3
2
，
OD=
1
3
•CD=
1
3
×
3
2
=
1
2
，
PD=
PA2−AD2
=
4−(
3
2
)2
＝
13
2
，
∴PO=
PD2−OD2
=
(
13
2
)2−(
1
2
)2
＝
3
，
所以，正三棱锥P-ABC的体积为：
V=
1
3
•S△ABC•PO=
1
3
×
3
4
×(
3
)2×
3
=
3
4
．
故答案为：
3
4
．
3
3
33，侧棱长PA=2，
设顶点P在底面的射影为O，连接CO并延长，交AB与点D；
连接PD，则CD⊥AB，PD⊥AB；
在正△ABC中，AB=
3
，
∴CD=
3
2
•AB=
3
2
×
3
=
3
2
，
OD=
1
3
•CD=
1
3
×
3
2
=
1
2
，
PD=
PA2−AD2
=
4−(
3
2
)2
＝
13
2
，
∴PO=
PD2−OD2
=
(
13
2
)2−(
1
2
)2
＝
3
，
所以，正三棱锥P-ABC的体积为：
V=
1
3
•S△ABC•PO=
1
3
×
3
4
×(
3
)2×
3
=
3
4
．
故答案为：
3
4
．
3
3
33，
∴CD=
3
2
•AB=
3
2
×
3
=
3
2
，
OD=
1
3
•CD=
1
3
×
3
2
=
1
2
，
PD=
PA2−AD2
=
4−(
3
2
)2
＝
13
2
，
∴PO=
PD2−OD2
=
(
13
2
)2−(
1
2
)2
＝
3
，
所以，正三棱锥P-ABC的体积为：
V=
1
3
•S△ABC•PO=
1
3
×
3
4
×(
3
)2×
3
=
3
4
．
故答案为：
3
4
．
3
2
3
3
3
3
33222•AB=
3
2
×
3
=
3
2
，
OD=
1
3
•CD=
1
3
×
3
2
=
1
2
，
PD=
PA2−AD2
=
4−(
3
2
)2
＝
13
2
，
∴PO=
PD2−OD2
=
(
13
2
)2−(
1
2
)2
＝
3
，
所以，正三棱锥P-ABC的体积为：
V=
1
3
•S△ABC•PO=
1
3
×
3
4
×(
3
)2×
3
=
3
4
．
故答案为：
3
4
．
3
2
3
3
3
3
33222×
3
3
33=
3
2
，
OD=
1
3
•CD=
1
3
×
3
2
=
1
2
，
PD=
PA2−AD2
=
4−(
3
2
)2
＝
13
2
，
∴PO=
PD2−OD2
=
(
13
2
)2−(
1
2
)2
＝
3
，
所以，正三棱锥P-ABC的体积为：
V=
1
3
•S△ABC•PO=
1
3
×
3
4
×(
3
)2×
3
=
3
4
．
故答案为：
3
4
．
3
2
333222，
OD=
1
3
•CD=
1
3
×
3
2
=
1
2
，
PD=
PA2−AD2
=
4−(
3
2
)2
＝
13
2
，
∴PO=
PD2−OD2
=
(
13
2
)2−(
1
2
)2
＝
3
，
所以，正三棱锥P-ABC的体积为：
V=
1
3
•S△ABC•PO=
1
3
×
3
4
×(
3
)2×
3
=
3
4
．
故答案为：
3
4
．
1
3
111333•CD=
1
3
×
3
2
=
1
2
，
PD=
PA2−AD2
=
4−(
3
2
)2
＝
13
2
，
∴PO=
PD2−OD2
=
(
13
2
)2−(
1
2
)2
＝
3
，
所以，正三棱锥P-ABC的体积为：
V=
1
3
•S△ABC•PO=
1
3
×
3
4
×(
3
)2×
3
=
3
4
．
故答案为：
3
4
．
1
3
111333×
3
2
333222=
1
2
，
PD=
PA2−AD2
=
4−(
3
2
)2
＝
13
2
，
∴PO=
PD2−OD2
=
(
13
2
)2−(
1
2
)2
＝
3
，
所以，正三棱锥P-ABC的体积为：
V=
1
3
•S△ABC•PO=
1
3
×
3
4
×(
3
)2×
3
=
3
4
．
故答案为：
3
4
．
1
2
111222，
PD=
PA2−AD2
=
4−(
3
2
)2
＝
13
2
，
∴PO=
PD2−OD2
=
(
13
2
)2−(
1
2
)2
＝
3
，
所以，正三棱锥P-ABC的体积为：
V=
1
3
•S△ABC•PO=
1
3
×
3
4
×(
3
)2×
3
=
3
4
．
故答案为：
3
4
．
PA2−AD2
PA2−AD2
PA2−AD2PA2−AD22−AD22=
4−(
3
2
)2
＝
13
2
，
∴PO=
PD2−OD2
=
(
13
2
)2−(
1
2
)2
＝
3
，
所以，正三棱锥P-ABC的体积为：
V=
1
3
•S△ABC•PO=
1
3
×
3
4
×(
3
)2×
3
=
3
4
．
故答案为：
3
4
．
4−(
3
2
)2
4−(
3
2
)2
4−(
3
2
)24−(
3
2
3
3
3
3
33222)22＝
13
2
13
13
13
13
1313222，
∴PO=
PD2−OD2
=
(
13
2
)2−(
1
2
)2
＝
3
，
所以，正三棱锥P-ABC的体积为：
V=
1
3
•S△ABC•PO=
1
3
×
3
4
×(
3
)2×
3
=
3
4
．
故答案为：
3
4
．
PD2−OD2
PD2−OD2
PD2−OD2PD2−OD22−OD22=
(
13
2
)2−(
1
2
)2
＝
3
，
所以，正三棱锥P-ABC的体积为：
V=
1
3
•S△ABC•PO=
1
3
×
3
4
×(
3
)2×
3
=
3
4
．
故答案为：
3
4
．
(
13
2
)2−(
1
2
)2
(
13
2
)2−(
1
2
)2
(
13
2
)2−(
1
2
)2(
13
2
13
13
13
13
1313222)2−(
1
2
)22−(
1
2
111222)22＝
3
3
33，
所以，正三棱锥P-ABC的体积为：
V=
1
3
•S△ABC•PO=
1
3
×
3
4
×(
3
)2×
3
=
3
4
．
故答案为：
3
4
．
1
3
111333•S△ABC△ABC•PO=
1
3
×
3
4
×(
3
)2×
3
=
3
4
．
故答案为：
3
4
．
1
3
111333×
3
4
3
3
3
3
33444×(
3
3
33)2×
3
=
3
4
．
故答案为：
3
4
． 2×
3
3
33=
3
4
．
故答案为：
3
4
．
3
4
333444．
故答案为：
3
4
．
3
4
333444．
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