已知正三棱锥P-ABC的侧棱长为2，底面边长为1，平行四边形EFGH的四个顶点分别在棱AB、BC、CP、PA上，则1EF+1FG的最小值为32+232+2．

Question

已知正三棱锥P-ABC的侧棱长为2，底面边长为1，平行四边形EFGH的四个顶点分别在棱AB、BC、CP、PA上，则(1)/(EF)+(1)/(FG)的最小值为

(3)/(2)+√(2)

(3)/(2)+√(2)

．(1)/(EF)+(1)/(FG)的最小值为

(3)/(2)+√(2)

(3)/(2)+√(2)

．(1)/(EF)11EFEF(1)/(FG)11FGFG

(3)/(2)+√(2)

(3)/(2)+√(2)(3)/(2)3322√(2)

2

2

(3)/(2)+√(2)

(3)/(2)+√(2)(3)/(2)3322√(2)

2

2

Answer 1

设EF=x，FG=y，BF=a，FC=b
∵AC：EF=BC：BF，BP：FG=BC：FC
即1：EF=（a+b）：a，2：FG=（a+b）：b或1：FG=（a+b）：2b
(1)/(EF)+(1)/(FG) ＝(a+b)/(a)+(a+b)/(2b)＝(1+b)/(a)+(a)/(2b)+(1)/(2)
=(3)/(2)+(b)/(a)+(a)/(2b)≥≥(3)/(2)+2√((b)/(a)•(a)/(2b))
=(3)/(2)+√(2)
∴(1)/(EF)+(1)/(FG)的最小值为(3)/(2)+√(2) (1)/(EF)111EFEFEF+(1)/(FG)111FGFGFG ＝(a+b)/(a)a+ba+ba+baaa+(a+b)/(2b)a+ba+ba+b2b2b2b＝(1+b)/(a)1+b1+b1+baaa+(a)/(2b)aaa2b2b2b+(1)/(2)111222
=(3)/(2)+(b)/(a)+(a)/(2b)≥≥(3)/(2)+2√((b)/(a)•(a)/(2b))
=(3)/(2)+√(2)
∴(1)/(EF)+(1)/(FG)的最小值为(3)/(2)+√(2) (3)/(2)333222+(b)/(a)bbbaaa+(a)/(2b)aaa2b2b2b≥≥(3)/(2)+2√((b)/(a)•(a)/(2b))
=(3)/(2)+√(2)
∴(1)/(EF)+(1)/(FG)的最小值为(3)/(2)+√(2) ≥(3)/(2)333222+2√((b)/(a)•(a)/(2b))

(b)/(a)•(a)/(2b)

(b)/(a)•(a)/(2b)(b)/(a)bbbaaa•(a)/(2b)aaa2b2b2b
=(3)/(2)+√(2)
∴(1)/(EF)+(1)/(FG)的最小值为(3)/(2)+√(2) (3)/(2)333222+√(2)
∴(1)/(EF)+(1)/(FG)的最小值为(3)/(2)+√(2) √(2)

2

22
∴(1)/(EF)+(1)/(FG)的最小值为(3)/(2)+√(2) (1)/(EF)111EFEFEF+(1)/(FG)111FGFGFG的最小值为(3)/(2)+√(2) (3)/(2)333222+√(2) √(2)

2

22