已知正三棱锥的高为1，底面边长为26，其内有一个球和该三棱锥的四个面都相切，求：（1）棱锥的全面积；（2）球的半径R．

Question

已知正三棱锥的高为1，底面边长为2

6

，其内有一个球和该三棱锥的四个面都相切，求：
（1）棱锥的全面积；
（2）球的半径R．

已知正三棱锥的高为1，底面边长为2

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，其内有一个球和该三棱锥的四个面都相切，求：
（1）棱锥的全面积；
（2）球的半径R． 已知正三棱锥的高为1，底面边长为2

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，其内有一个球和该三棱锥的四个面都相切，求：
（1）棱锥的全面积；
（2）球的半径R． 已知正三棱锥的高为1，底面边长为2

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，其内有一个球和该三棱锥的四个面都相切，求：
（1）棱锥的全面积；
（2）球的半径R． 已知正三棱锥的高为1，底面边长为2

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，其内有一个球和该三棱锥的四个面都相切，求：
（1）棱锥的全面积；
（2）球的半径R．

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，其内有一个球和该三棱锥的四个面都相切，求：
（1）棱锥的全面积；
（2）球的半径R．

6

6

6

6

Answer 1

（1）设正三棱锥的底面中心为H，
由题意知PH=1，取BC中点E，
连接HE、PE，
则HE=

2

，侧面的高PE=

3

，
S _全 =3× (1)/(2) ×2

6

×

3

+(1)/(2) ×2

6

×2

6

×(3)/(2)
=9

2

+6

3

．
（2）过O作OG⊥PE于点G，
则△POG ∽ △PEH，且OG=OH=R，
∴ (1-R)/(3) =(R)/(2) ，
∴R=

6

-2．

（1）设正三棱锥的底面中心为H，
由题意知PH=1，取BC中点E，
连接HE、PE，
则HE=

2

，侧面的高PE=

3

，
S _全 =3× (1)/(2) ×2

6

×

3

+(1)/(2) ×2

6

×2

6

×(3)/(2)
=9

2

+6

3

．
（2）过O作OG⊥PE于点G，
则△POG ∽ △PEH，且OG=OH=R，
∴ (1-R)/(3) =(R)/(2) ，
∴R=

6

-2．
（1）设正三棱锥的底面中心为H，
由题意知PH=1，取BC中点E，
连接HE、PE，
则HE=

2

，侧面的高PE=

3

，
S _全 =3× (1)/(2) ×2

6

×

3

+(1)/(2) ×2

6

×2

6

×(3)/(2)
=9

2

+6

3

．
（2）过O作OG⊥PE于点G，
则△POG ∽ △PEH，且OG=OH=R，
∴ (1-R)/(3) =(R)/(2) ，
∴R=

6

-2．
（1）设正三棱锥的底面中心为H，
由题意知PH=1，取BC中点E，
连接HE、PE，
则HE=

2

，侧面的高PE=

3

，
S _全 =3× (1)/(2) ×2

6

×

3

+(1)/(2) ×2

6

×2

6

×(3)/(2)
=9

2

+6

3

．
（2）过O作OG⊥PE于点G，
则△POG ∽ △PEH，且OG=OH=R，
∴ (1-R)/(3) =(R)/(2) ，
∴R=

6

-2．
（1）设正三棱锥的底面中心为H，
由题意知PH=1，取BC中点E，
连接HE、PE，
则HE=

2

，侧面的高PE=

3

，
S _全 =3× (1)/(2) ×2

6

×

3

+(1)/(2) ×2

6

×2

6

×(3)/(2)
=9

2

+6

3

．
（2）过O作OG⊥PE于点G，
则△POG ∽ △PEH，且OG=OH=R，
∴ (1-R)/(3) =(R)/(2) ，
∴R=

6

-2．

2

2

2

2 2 ，侧面的高PE=

3

3

3

3 3 ，
S _全 全 =3× (1)/(2) ×2

6

×

3

+(1)/(2) ×2

6

×2

6

×(3)/(2)
=9

2

+6

3

．
（2）过O作OG⊥PE于点G，
则△POG ∽ △PEH，且OG=OH=R，
∴ (1-R)/(3) =(R)/(2) ，
∴R=

6

-2．
(1)/(2) 1 2 1 1 1 2 2 2 ×2

6

6

6

6 6 ×

3

3

3

3 3 +(1)/(2) 1 2 1 1 1 2 2 2 ×2

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6

6

6 6 ×2

6

6

6

6 6 ×(3)/(2)

3

2

3

3

3

3

3

3 3 2 2 2
=9

2

+6

3

．
（2）过O作OG⊥PE于点G，
则△POG ∽ △PEH，且OG=OH=R，
∴ (1-R)/(3) =(R)/(2) ，
∴R=

6

-2．

2

2

2

2 2 +6

3

3

3

3 3 ．
（2）过O作OG⊥PE于点G，
则△POG ∽ △PEH，且OG=OH=R，
∴ (1-R)/(3) =(R)/(2) ，
∴R=

6

-2．
∽ △PEH，且OG=OH=R，
∴ (1-R)/(3) =(R)/(2) ，
∴R=

6

-2．
(1-R)/(3) 1-R

3

1-R 1-R 1-R

3

3

3

3

3

3 3 =(R)/(2) R

2

R R R

2

2

2

2

2

2 2 ，
∴R=

6

-2．

6

6

6

6 6 -2．