已知一扇形的中心角是α，所在圆的半径是R．（1）若α=60°，R=10cm，求扇形的弧长及该弧所在的弓形面积；（2）若扇形的周长是12cm，当α为多少弧度时，该扇形有最大面积？并且最大面积是

Question

已知一扇形的中心角是α，所在圆的半径是R．
（1）若α=60°，R=10cm，求扇形的弧长及该弧所在的弓形面积；
（2）若扇形的周长是12cm，当α为多少弧度时，该扇形有最大面积？并且最大面积是多少？

Answer 1

（本小题满分14分）
（1）设弧长为l，弓形面积为S_弓弓，
∵α=60°=(π)/(3)，R=10，
∴l=αR=(10π)/(3) （cm）．
S_弓=S_扇-S_△=(1)/(2)×(10π)/(3)×10-(1)/(2)×2×10×sin (π)/(6)×10×cos (π)/(6)
=50（(π)/(3)-(√(3))/(2)） （cm²）．
（2）扇形周长12=2R+l=2R+αR，
∴α=(12−2R)/(R)，
∴S_扇=(1)/(2)αR²=(1)/(2)•(12−2R)/(R)•R²
=-R²+6R=-（R-3）²+9．
当且仅当R=3cm，即α=2时，扇形面积最大，且最大面积是9cm²． (π)/(3)πππ333，R=10，
∴l=αR=(10π)/(3) （cm）．
S_弓=S_扇-S_△=(1)/(2)×(10π)/(3)×10-(1)/(2)×2×10×sin (π)/(6)×10×cos (π)/(6)
=50（(π)/(3)-(√(3))/(2)） （cm²）．
（2）扇形周长12=2R+l=2R+αR，
∴α=(12−2R)/(R)，
∴S_扇=(1)/(2)αR²=(1)/(2)•(12−2R)/(R)•R²
=-R²+6R=-（R-3）²+9．
当且仅当R=3cm，即α=2时，扇形面积最大，且最大面积是9cm²． (10π)/(3)10π10π10π333 （cm）．
S_弓弓=S_扇扇-S_△△=(1)/(2)×(10π)/(3)×10-(1)/(2)×2×10×sin (π)/(6)×10×cos (π)/(6)
=50（(π)/(3)-(√(3))/(2)） （cm²）．
（2）扇形周长12=2R+l=2R+αR，
∴α=(12−2R)/(R)，
∴S_扇=(1)/(2)αR²=(1)/(2)•(12−2R)/(R)•R²
=-R²+6R=-（R-3）²+9．
当且仅当R=3cm，即α=2时，扇形面积最大，且最大面积是9cm²． (1)/(2)111222×(10π)/(3)×10-(1)/(2)×2×10×sin (π)/(6)×10×cos (π)/(6)
=50（(π)/(3)-(√(3))/(2)） （cm²）．
（2）扇形周长12=2R+l=2R+αR，
∴α=(12−2R)/(R)，
∴S_扇=(1)/(2)αR²=(1)/(2)•(12−2R)/(R)•R²
=-R²+6R=-（R-3）²+9．
当且仅当R=3cm，即α=2时，扇形面积最大，且最大面积是9cm²． (10π)/(3)10π10π10π333×10-(1)/(2)×2×10×sin (π)/(6)×10×cos (π)/(6)
=50（(π)/(3)-(√(3))/(2)） （cm²）．
（2）扇形周长12=2R+l=2R+αR，
∴α=(12−2R)/(R)，
∴S_扇=(1)/(2)αR²=(1)/(2)•(12−2R)/(R)•R²
=-R²+6R=-（R-3）²+9．
当且仅当R=3cm，即α=2时，扇形面积最大，且最大面积是9cm²． (1)/(2)111222×2×10×sin (π)/(6)×10×cos (π)/(6)
=50（(π)/(3)-(√(3))/(2)） （cm²）．
（2）扇形周长12=2R+l=2R+αR，
∴α=(12−2R)/(R)，
∴S_扇=(1)/(2)αR²=(1)/(2)•(12−2R)/(R)•R²
=-R²+6R=-（R-3）²+9．
当且仅当R=3cm，即α=2时，扇形面积最大，且最大面积是9cm²． (π)/(6)πππ666×10×cos (π)/(6)
=50（(π)/(3)-(√(3))/(2)） （cm²）．
（2）扇形周长12=2R+l=2R+αR，
∴α=(12−2R)/(R)，
∴S_扇=(1)/(2)αR²=(1)/(2)•(12−2R)/(R)•R²
=-R²+6R=-（R-3）²+9．
当且仅当R=3cm，即α=2时，扇形面积最大，且最大面积是9cm²． (π)/(6)πππ666
=50（(π)/(3)-(√(3))/(2)） （cm²）．
（2）扇形周长12=2R+l=2R+αR，
∴α=(12−2R)/(R)，
∴S_扇=(1)/(2)αR²=(1)/(2)•(12−2R)/(R)•R²
=-R²+6R=-（R-3）²+9．
当且仅当R=3cm，即α=2时，扇形面积最大，且最大面积是9cm²． (π)/(3)πππ333-(√(3))/(2)） （cm²）．
（2）扇形周长12=2R+l=2R+αR，
∴α=(12−2R)/(R)，
∴S_扇=(1)/(2)αR²=(1)/(2)•(12−2R)/(R)•R²
=-R²+6R=-（R-3）²+9．
当且仅当R=3cm，即α=2时，扇形面积最大，且最大面积是9cm²． (√(3))/(2)√(3)√(3)√(3)

3

33222） （cm²2）．
（2）扇形周长12=2R+l=2R+αR，
∴α=(12−2R)/(R)，
∴S_扇=(1)/(2)αR²=(1)/(2)•(12−2R)/(R)•R²
=-R²+6R=-（R-3）²+9．
当且仅当R=3cm，即α=2时，扇形面积最大，且最大面积是9cm²． (12−2R)/(R)12−2R12−2R12−2RRRR，
∴S_扇扇=(1)/(2)αR²=(1)/(2)•(12−2R)/(R)•R²
=-R²+6R=-（R-3）²+9．
当且仅当R=3cm，即α=2时，扇形面积最大，且最大面积是9cm²． (1)/(2)111222αR²2=(1)/(2)•(12−2R)/(R)•R²
=-R²+6R=-（R-3）²+9．
当且仅当R=3cm，即α=2时，扇形面积最大，且最大面积是9cm²． (1)/(2)111222•(12−2R)/(R)•R²
=-R²+6R=-（R-3）²+9．
当且仅当R=3cm，即α=2时，扇形面积最大，且最大面积是9cm²． (12−2R)/(R)12−2R12−2R12−2RRRR•R²2
=-R²2+6R=-（R-3）²2+9．
当且仅当R=3cm，即α=2时，扇形面积最大，且最大面积是9cm²2．