实变函数证明题求解：任一不可数无限集除去或者并上一个可数集不改变它的势.

Question

实变函数证明题求解：任一不可数无限集除去或者并上一个可数集不改变它的势.

Answer 1

假定 A=B并C,C是可列集,B是不可列集,B交C为空.
首先,B具有可列子集P,把 B划分成 B=P并S,P交S为空,那么
A = (C并P)并S
注意 |C并P|=|C|=|P|,取C到C并P的双射f,再将f和S上的恒等映射合并就得到B到A的双射,所以|B并C|=|B|.
反过来,如果已知A是不可列集,去掉C之后得到B,那么B仍然是不可列集,用上面的结论得到|A|=|B|.