已知等边△ABC的边长为4cm，点P，Q分别从B，C两点同时出发，其中点P沿BC向终点C运动，速度为1cm/s；点Q沿CA，AB向终点B运动，速度为2cm/s，设它们运动的时间为x（s），（1）如图（1），当x为

Question

已知等边△ABC的边长为4cm，点P，Q分别从B，C两点同时出发，其中点P沿BC向终点C运动，速度为1cm/s；
点Q沿CA，AB向终点B运动，速度为2cm/s，设它们运动的时间为x（s），
（1）如图（1），当x为何值时，PQ∥AB；
（2）如图（2），若PQ⊥AC，求x；
（3）如图（3），当点Q在AB上运动时，PQ与△ABC的高AD交于点O，OQ与OP是否总是相等？请说明理由．

Answer 1

（1）∵∠C=60°，
∴当PC=CQ时，△PQC为等边三角形，
于是∠QPC=60°=∠B，
从而PQ∥AB，
∵PC=4-x，CQ=2x，
由4-x=2x，
解得：x=(4)/(3)，
∴当x=(4)/(3)时，PQ∥AB；

（2）∵PQ⊥AC，∠C=60°，
∴∠QPC=30°，
∴CQ=(1)/(2)PC，
即2x=(1)/(2)（4-x），
解得：x=(4)/(5)；

（3）OQ=PO，理由如下：
作QH⊥AD于H，如图（3），
∵AD⊥BC，
∴∠QAH=30°，BD=(1)/(2)BC=2，
∴QH=(1)/(2)AQ=(1)/(2)（2x-4）=x-2，
∵DP=BP-BD=x-2，
∴QH=DP，
在△OQH和△OPD中，

∠QOH=∠POD

∠QHO=∠PDO

QH=PD

，
∴△OQH≌△OPD（AAS），
∴OQ=OP．