如图所示，将矩形ABCD沿AF折叠，使点D落在BC边的点E处，过点E作EG∥CD交AF于点G，连接DG．（1）求证：四边形EFDG是菱形；（2）求证：EG2=12GF×AF；（3）若tan∠FEC=

Question

如图所示，将矩形ABCD沿AF折叠，使点D落在BC边的点E处，过点E作EG∥CD交AF于点G，连接DG．

（1）求证：四边形EFDG是菱形；
（2）求证：EG²= (1)/(2)GF×AF；
（3）若tan∠FEC= (3)/(4)，折痕AF=5 √(5)cm，则矩形ABCD的周长为___．

Answer 1

（1）∵GE∥DF，
∴∠EGF=∠DFG．
∵由翻折的性质可知：GD=GE，DF=EF，∠DGF=∠EGF，
∴∠DGF=∠DFG．
∴GD=DF．
∴DG=GE=DF=EF．
∴四边形EFDG为菱形．

（2）如图，连接DE，交AF于点O．
∵四边形EFDG为菱形，
∴GF⊥DE，OG=OF=(1)/(2)GF．
∵∠DOF=∠ADF=90°，∠OFD=∠DFA，
∴△DOF∽△ADF．
∴(DF)/(AF)=(FO)/(DF)，即DF²=FO•AF．
∵FO=(1)/(2)GF，DF=EG，
∴EG²=(1)/(2)GF•AF．

（3）∵Rt△CEF中，tan∠FEC=(3)/(4)，
∴可设CF=3x，CE=4x，则EF=5x=DF，CD=8x=AB，
∵∠B=∠C=90°，∠AEF=∠ADF=90°，
∴∠BAE+∠AEB=∠CEF+∠AEB=90°，
∴∠BAE=∠CEF，
∴△ABE∽△ECF，
∴(BE)/(AB)=(CF)/(CE)=(3)/(4)，即(BE)/(8x)=(3)/(4)，
∴BE=6x，
∴BC=10x=AD，
∵Rt△ADF中，AF=5√(5)cm，
∴（10x）²+（5x）²=（5√(5)）²，
解得x=1，
∴AD=10cm，CD=8cm，
∴矩形ABCD的周长=2（10+8）=36cm．
故答案为：36cm．