设ABCD是矩形，沿对角线BD将△BDC折起，使C点在底面DAB内的射影H恰好落在AB边上(如图)．(1)求证：平面ABC⊥平面ACD；(2)求证：平面DBC⊥平面ACD；(3)如果AD∶AB＝1∶

Question

设ABCD是矩形，沿对角线BD将△BDC折起，使C点在底面DAB内的射影H恰好落在AB边上(如图)．

　　

(1)求证：平面ABC⊥平面ACD；

(2)求证：平面DBC⊥平面ACD；

(3)如果AD∶AB＝1∶ ，试求二面角C－AD－B的正弦值．

Answer 1

答案：
解析：
　　(1)AB为直线BC在平面ABD内的射影，而AD⊥AB(已知)，由三垂线定理，得AD⊥BC，又由已知有BC⊥CD， 　　∴BC⊥平面ACD，BC平面ABC． 　　∴面ABC⊥面ACD． 　　(2)BC平面DBC ∴平面DBC⊥平面ACD． 　　(3)AH为AC在平面ACD的射影，又AH⊥AD ∴AC⊥AD． 　　从而∠CAH为二面角C－AD－B的平面角． 　　设AD＝a，AB＝a，则DC＝a． 　　在Rt△ACD中，AC＝，又BC⊥平面ACD 　　∴BC⊥AC ∴sin∠CAH＝＝＝．