早教吧作业答案频道 -->数学-->
设A是n阶正定矩阵,B是n阶反堆成矩阵,证明A-B^2(注:A减B方)为正定矩阵.
题目详情
设A是n阶正定矩阵,B是n阶反堆成矩阵,证明A-B^2(注:A减B方)为正定矩阵.
▼优质解答
答案和解析
证明: 由A正定, B反对称矩阵, 所以 A'=A, B'=-B
所以 (A-B^2)' = A'-B'B' = A-BB = A-B^2
所以 A-B^2 是对称矩阵.
又对任意非零n维向量x
因为 A 正定, 所以 x'Ax > 0.
而 -B^2 = B'B
所以 x'(-B^2)x = x'B'Bx = (BX)'(Bx) >= 0
所以 x'(A-B^2)x = x'Ax + x'(-B^2)x > 0
所以 A-B^2 是正定矩阵.
所以 (A-B^2)' = A'-B'B' = A-BB = A-B^2
所以 A-B^2 是对称矩阵.
又对任意非零n维向量x
因为 A 正定, 所以 x'Ax > 0.
而 -B^2 = B'B
所以 x'(-B^2)x = x'B'Bx = (BX)'(Bx) >= 0
所以 x'(A-B^2)x = x'Ax + x'(-B^2)x > 0
所以 A-B^2 是正定矩阵.
看了 设A是n阶正定矩阵,B是n阶...的网友还看了以下:
矩阵乘积的行列式等于矩阵行列式的乘积?书中有详细的证明步骤,可以归纳为;构造一个2n阶方阵,其行列 2020-04-06 …
设A是n阶对称矩阵,C是n阶正交矩阵,且B=CTAC(CT为C的转置)不成立的是().A.A与B相 2020-05-14 …
刘老师请教一道线代问题:A,B均为n阶正定矩阵,则AB+BA是不是正定矩阵?A,B均为n阶正定矩阵 2020-06-13 …
判断题:1设A,B是同阶对称矩阵,则AB也是对称矩阵.()2设n阶方阵A,B,C满足关系式BCA= 2020-06-18 …
设A是n阶正定矩阵,B是n阶反堆成矩阵,证明A-B^2(注:A减B方)为正定矩阵. 2020-06-22 …
设A为n阶矩阵.若存在正整数m使Am=O,则称A为n阶幂零矩阵.现设A为n阶幂零矩阵,E为n阶单位 2020-07-22 …
1.n阶单位矩阵可以通过有限次初等变换成为任意n阶矩阵吗?2.假如A可以通过单位矩阵有限次初等变1 2020-08-02 …
线性代数1.已知A^2+2A+2I=0,I是n阶单位阵,则(A+I)^(-1)=?2线性代数1.已知 2020-11-02 …
设A*表示n阶方阵A的伴随矩阵,证明1.(λA)*=λ^n-1A*对任意数λ成立2.(AB)*=B* 2020-11-02 …
三阶方阵A有三个特征值-1,1,2且方阵A与方阵B有相同的特征值,则不正确的是A:A与B等价B:三阶 2020-11-03 …