设A是n阶正定矩阵,B是n阶反堆成矩阵,证明A-B^2（注：A减B方）为正定矩阵.

Question

设A是n阶正定矩阵,B是n阶反堆成矩阵,证明A-B^2（注：A减B方）为正定矩阵.

Answer 1

证明: 由A正定, B反对称矩阵, 所以 A'=A, B'=-B
所以 (A-B^2)' = A'-B'B' = A-BB = A-B^2
所以 A-B^2 是对称矩阵.
又对任意非零n维向量x
因为 A 正定, 所以 x'Ax > 0.
而 -B^2 = B'B
所以 x'(-B^2)x = x'B'Bx = (BX)'(Bx) >= 0
所以 x'(A-B^2)x = x'Ax + x'(-B^2)x > 0
所以 A-B^2 是正定矩阵.