设1995X^3=1996Y^3=1997Z^3XYZ>0且:3√(1995X^2+1996Y^2+1997Z^2)=3√1995+3√1996+3√1997求1/X+1/Y+1/Z的值注:3√是开立方,不是3倍根号通俗一点,不要copy

Question

设1995X^3=1996Y^3=1997Z^3 XYZ>0 且:3√(1995X^2+1996Y^2+1997Z^2)=3√1995 + 3√1996 + 3√1997
求1/X + 1/Y + 1/Z 的值
注:3√ 是开立方,不是3倍根号
通俗一点,不要copy

Answer 1

∵xyz＞0,∴x、y、z至少有一者是正数,又1995x^3＝1996y^3＝1997z^3,
∴由x、y、z中的任意一者为正数,都能推出另两者是正数,∴x、y、z都是正数,
∴1/x＋1/y＋1/z＞0.
令1995x^3＝1996y^3＝1997z^3＝k^3,则：
1995x^2＝k^3/x、1996y^2＝k^3/y、1997z^2＝k^3/z,
1995＝（k/x）^3、1996＝（k/y）^3、1997＝（k/z）^3.
∵（1995x^2＋1996y^2＋1997z^2）^（1/3）＝1995^（1/3）＋1996^（1/3）＋1997^（1/3）,
∴（k^3/x＋k^3/y＋k^3/z）^（1/3）＝k/x＋k/y＋k/z,
∴（1/x＋1/y＋1/z）^（1/3）＝1/x＋1/y＋1/z,
∴1＝（1/x＋1/y＋1/z）^（2/3）,
∴1/x＋1/y＋1/z＝1.