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已知函数f(x)=x+2/x,判断f(x)的奇偶性,并证明函数f(x)在[根号2,+&)内是增函数.
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已知函数f(x)=x+2/x,判断f(x)的奇偶性,并证明函数f(x)在[根号2,+&)内是增函数.
▼优质解答
答案和解析
f(x)=x+2/x,
f(-x)=-x-2/x=-f(x),
定义域为(-oo,0)U(0,+oo)
关于原点对称
所以函数为奇函数
f(x)在[√2,∞﹚上单调递增
任取x2>x1≥√2
f(x2)-f(x1)
=x2+2/x2-x1-2/x1
=x2-x1+2/x2-2/x1
=x2-x1+(2x1-2x2)/x1x2
=(x2-x1)-2(x2-x1)/x1x2
=(x2-x1)(1-2/x1x2)
因为x2>x1≥√2
所以x2-x1>0
x1x2>2
0<2/x1x2<1
所以1-2/x1x2>0
所以f(x2)-f(x1)>0
所以f(x)在[√2,∞﹚上单调递增
f(-x)=-x-2/x=-f(x),
定义域为(-oo,0)U(0,+oo)
关于原点对称
所以函数为奇函数
f(x)在[√2,∞﹚上单调递增
任取x2>x1≥√2
f(x2)-f(x1)
=x2+2/x2-x1-2/x1
=x2-x1+2/x2-2/x1
=x2-x1+(2x1-2x2)/x1x2
=(x2-x1)-2(x2-x1)/x1x2
=(x2-x1)(1-2/x1x2)
因为x2>x1≥√2
所以x2-x1>0
x1x2>2
0<2/x1x2<1
所以1-2/x1x2>0
所以f(x2)-f(x1)>0
所以f(x)在[√2,∞﹚上单调递增
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