关于x分之e的x次方的不定积分.原函数是多少?

Question

关于x分之e的x次方的不定积分.原函数是多少?

Answer 1

这个积分不可积的,无论用哪种分部积分法都是积不了,但是可以用无穷的数列和表示：
∫ e^x / x dx
= ∫ e^x d(lnx)
= e^x * lnx - ∫ e^x * lnx dx
这个积分不可积了.
∫ e^x / x dx
= ∫ 1/x d(e^x)
= e^x / x - ∫ e^x d(1/x)
= e^x / x - ∫ e^x * (-1/x��)dx
= e^x / x + ∫ e^x / x�� dx
反而多了个1/x,再积分只会循环下去,所以积不完.
唯一反而方法就是用无穷数列：
∫ e^x / x dx
= ∫ ∑(k=0到∞) x^k / k!* 1/x dx
= ∑(k=0到∞) 1/k!* ∫ x^(k-1) dx
= ∑(k=0到∞) 1/k!* x^k / k + C
= ∑(k=0到∞) x^k / (k * k!) + C