级数1/（n+1）的是收敛还是发散刚学级数用比较审敛法做不出来。

Question

级数1/（n+1）的是收敛还是发散
刚学级数 用比较审敛法做不出来。

Answer 1

构造法.
证明：构造f(x)=lnx
那么f'(x)=1/x 在[n,n+1]上对f(x)利用拉格朗日中值定理
有f(n+1)-f(n)=f'(x0)(n+1-n)=1/x0(n＜x0＜n+1)
所以f(n+1)-f(n)＜1/n
所以1/1+1/2+1/3+...+1/n＞f(2)-f(1)+f(3)-f(2)+...+f(n+1)-f(n)=f(n+1)-f(1)=ln(n+1)
当n→+∞时ln(n+1)→+∞
故1/1+1/2+1/3+...+1/n→+∞
不存在极限 .调和级数比发散