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已知函数f(x)=x2-2ax+a2-1,若关于x的不等式f(f(x))<0的解集为空集,则实数a的取值范围是.
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已知函数f(x)=x2-2ax+a2-1,若关于x的不等式f(f(x))<0的解集为空集,则实数a的取值范围是___.
▼优质解答
答案和解析
f(x)=x2-2ax+a2-1=x2-2ax+(a-1)(a+1)=[x-(a-1)][x-(a+1)]
由f(x)<0
即[x-(a-1)][x-(a+1)]<0
解得a-1<x<a+1,
那么不等式f(f(x))<0⇒a-1<f(x)<a+1 (*)
又f(x)=(x-a)2-1
当x=a时,f(x)取得最小值-1
即函数的值域为[-1,+∞)
若原不等式的解集为空集,则(*)的解集为空集,
那么(a-1,a+1)与值域的交集为空集
所以a+1≤-1
所以a≤-2.
故答案为:a≤-2.
由f(x)<0
即[x-(a-1)][x-(a+1)]<0
解得a-1<x<a+1,
那么不等式f(f(x))<0⇒a-1<f(x)<a+1 (*)
又f(x)=(x-a)2-1
当x=a时,f(x)取得最小值-1
即函数的值域为[-1,+∞)
若原不等式的解集为空集,则(*)的解集为空集,
那么(a-1,a+1)与值域的交集为空集
所以a+1≤-1
所以a≤-2.
故答案为:a≤-2.
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