设A={1/2.1/3,1/4,1/5,1/6},则集合A中所有非空子集的元素积的和等于()

Question

设A={1/2.1/3,1/4,1/5,1/6},则集合A中所有非空子集的元素积的和等于()

Answer 1

令f(x)=(x+1/2)(x+1/3)(x+1/4)(x+1/5)(x+1/6)
展开f(x)的右边,
x^6的系数为1；
x^5的系数为那5个数的和,即只有一个元素的所有子集的元素的积的和；
^4的系数为那5个数两个两个的乘积的和,即有二个元素的所有子集的元素的积的和；
x^3的系数为那5个数三个三个的乘积的和,即有三个元素的所有子集的元素的积的和；
x^2的系数为那5个数四个四个的乘积的和,即有四个元素的所有子集的元素的积的和；
x的系数为那5个数的乘积的和常数项为那五个数的乘积,即有五个元素的子集的元素的积；
则f(1)=(1+1/2)(1+1/3)(1+1/4)(1+1/5)(1+1/6),
另一方面,
f(1)=1+(六个数的和+两两之积的和+三三之积的和+四四之积的和+五五之积的和+六个数的积）
所求的集合A中所有非空子集的元素积的和=f(1)-1=5/2