关于x的方程x^2-2mx+m+6=0有两个实根α、β(α≥β),求α^2+β^2的取值范围

Question

关于x的方程x^2-2mx+m+6=0有两个实根α、β(α≥β),求α^2+β^2的取值范围

Answer 1

一元二次方程有两实根,判别式△≥0
(-2m)²-4(m+6)≥0
m²-m-6≥0
(m-3)(m+2)≥0
m≥3或m≤-2
由韦达定理得
α+β=2m αβ=m+6
f(m)=(α-1)²+(β-1)²
=α²-2α+1+β²-2β+1
=(α+β)²-2αβ-2(α+β)+2
=(2m)²-2(m+6)-2·(2m)+2
=4m²-6m-10
y=f(m)的解析式为y=f(m)=4m²-6m-10 (m≥3或m≤-2)
2、
由1、解题过程得函数定义域为(-∞,-2]U[3,+∞)
y=f(m)=4m²-6m-10=4(m -3/4)² -49/4
对称轴m=3/4,函数在区间(-∞,-2]上单调递减,在区间[3,+∞)上单调递增.
m->-∞或m->+∞时,y->+∞,函数没有最大值.
f(-2)=4×(-2)²-6×(-2)-10=18
f(3)=4×3²-6×3-10=8