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设n阶实对称矩阵A的秩为r,且满足A2=A,求①二次型xTAx的标准形;②行列式|E+A+A2+…+An|的值,其中E为单位矩阵.
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设n阶实对称矩阵A的秩为r,且满足A2=A,求
①二次型xTAx的标准形;
②行列式|E+A+A2+…+An|的值,其中E为单位矩阵.
①二次型xTAx的标准形;
②行列式|E+A+A2+…+An|的值,其中E为单位矩阵.
▼优质解答
答案和解析
设Aα=λα(α≠0),
则A2α=λ2α,
又A2α=Aα=λα,
故λ2α=λα⇒(λ2-λ)α=0⇒λ=1或者λ=0.
由n阶实对称矩阵A的秩为r知,λ=1,λ=0分别为A的r重和n-r重特征值,
故存在正交矩阵P,
使得P−1AP=PTAP=
.
①经正交变换x=Py,
二次型xTAx的标准形为
+
+…+
.
②A2=A⇒A2=…=An=A,
令A=P∧P-1
故行列式|E+nA|=|PP-1+nPΛP-1||P(E+nΛ)P-1|
=|P||E+nΛ||P-1|
=|E+nΛ|
=(n+1)r.
则A2α=λ2α,
又A2α=Aα=λα,
故λ2α=λα⇒(λ2-λ)α=0⇒λ=1或者λ=0.
由n阶实对称矩阵A的秩为r知,λ=1,λ=0分别为A的r重和n-r重特征值,
故存在正交矩阵P,
使得P−1AP=PTAP=
|
①经正交变换x=Py,
二次型xTAx的标准形为
y | 2 1 |
y | 2 2 |
y | 2 r |
②A2=A⇒A2=…=An=A,
令A=P∧P-1
故行列式|E+nA|=|PP-1+nPΛP-1||P(E+nΛ)P-1|
=|P||E+nΛ||P-1|
=|E+nΛ|
=(n+1)r.
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