如图①，在△ABC中，∠BAC=90°，∠C比∠B大30°，AD平分∠BAC，AE⊥BC．试求∠DAE的度数．（1）请你直接写出∠B，∠C的度数；（2）小明说：我求得∠DAE的度数后，发现：去掉题目中的条件“∠B

Question

如图①，在△ABC中，∠BAC=90°，∠C比∠B大30°，AD平分∠BAC，AE⊥BC．试求∠DAE的度数．
（1）请你直接写出∠B，∠C的度数；
（2）小明说：我求得∠DAE的度数后，发现：去掉题目中的条件“∠BAC=90°”也能求出∠DAE的度数．已知小明的说法是正确的，请你结合图②写出求解过程；
（3）小红也提出：如图③，保留“∠C比∠B大30°，AD平分∠BAC”这两个条件不变，若将线段BE，EC在点E处弯折，保持∠BEA=∠CEA，得到四边形ABEC，则∠DAE的大小保持不变．你认为小红的想法正确吗？若正确，请求出∠DAE的度数；若不正确，请说明理由．

Answer 1

（1）∵在△ABC中，∠BAC=90°，
∴∠B+∠C=90°．
∴∠C比∠B大30°，
∴∠B=(90°-30°)/(2)=30°，∠C=30°+30°=60°；

（2）∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠CAD=(1)/(2)∠BAC．
∵∠BAC=180°-∠B-∠C，
∴∠CAD=(1)/(2)（180°-∠B-∠C）=90°-(1)/(2)∠B-(1)/(2)∠C．
∵AE⊥BC，
∴∠CEA=90°，
∴∠EAC=90°-∠C，
∴∠DAE=∠CAD-∠EAC=90°-(1)/(2)∠B-(1)/(2)∠C-（90°-∠C）=(1)/(2)（∠C-∠B）．
∵∠C比∠B大30°，
∴∠C-∠B=30°，
∴∠DAE=(1)/(2)×30°=15°．

（3）小红的想法是正确的．
理由如下：∵∠BEA=∠CEA，
∴∠C+∠CAE=∠B+∠BAE．
∵∠CAE=CAD-∠DAE，∠BAE=∠BAD+∠DAE，
∴∠C+∠CAD-∠DAE=∠B+∠BAD+∠DAE．
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠CAD，
∴∠C-∠DAE=∠B+○DAE，
∴2∠DAE=∠C-∠B，即∠DAE=(1)/(2)（∠C-∠B）．
∵∠C比∠B大30°，
∴∠C-∠B=30°，
∴∠DAE=(1)/(2)×30°=15°．