设f（t）是[-k，k]上的连续函数，试证：∭x2+y2+z2≤1f（ax+by+cz）dxdydz=π∫1-1(1-u2)f（ku）du，其中k=a2+b2+c2>0．

Question

设f（t）是[-k，k]上的连续函数，试证：

∭

x2+y2+z2≤1

f（ax+by+cz）dxdydz=π

∫

1 -1

(1-u2)f（ku）du，其中k=√(a2+b2+c2)>0．

Answer 1

证明：取新坐标系Ouvw，其中原点不变，平面ax+by+cz=0即为Ovw，u轴垂直于该面，
即是作正交变换，
点（x，y，z）在Ouvw中的坐标为（u，v，w），则有u=(ax+by+cz)/(√(a2+b2+c2))，
在新坐标系下，公式左端的积分可写为

∭

x2+y2+z2≤1

f（ax+by+cz）dxdydz=

∫∫∫

u2+v2+w2≤1

f(ku)dudvdw
=

∫

1 -1

f(ku)du

∫∫

v2+w2≤1-u2

dvdw
=

∫

1 -1

f(ku)π(1-u2)du=π

∫

1 -1

(1-u2)f(ku)du，其中k=√(a2+b2+c2)>0．