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设f(t)是[-k,k]上的连续函数,试证:∭x2+y2+z2≤1f(ax+by+cz)dxdydz=π∫1-1(1-u2)f(ku)du,其中k=a2+b2+c2>0.
题目详情
设f(t)是[-k,k]上的连续函数,试证:
f(ax+by+cz)dxdydz=π
(1-u2)f(ku)du,其中k=
>0.
∭ |
x2+y2+z2≤1 |
∫ | 1 -1 |
a2+b2+c2 |
▼优质解答
答案和解析
证明:取新坐标系Ouvw,其中原点不变,平面ax+by+cz=0即为Ovw,u轴垂直于该面,
即是作正交变换,
点(x,y,z)在Ouvw中的坐标为(u,v,w),则有u=
,
在新坐标系下,公式左端的积分可写为
f(ax+by+cz)dxdydz=
f(ku)dudvdw
=
f(ku)du
dvdw
=
f(ku)π(1-u2)du=π
(1-u2)f(ku)du,其中k=
>0.
即是作正交变换,
点(x,y,z)在Ouvw中的坐标为(u,v,w),则有u=
ax+by+cz | ||
|
在新坐标系下,公式左端的积分可写为
∭ |
x2+y2+z2≤1 |
∫∫∫ |
u2+v2+w2≤1 |
=
∫ | 1 -1 |
∫∫ |
v2+w2≤1-u2 |
=
∫ | 1 -1 |
∫ | 1 -1 |
a2+b2+c2 |
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