凸集S的闭包是凸集怎么证?

Question

凸集S的闭包是凸集
怎么证?

Answer 1

用定义验证.
设a, b ∈ S的闭包, 对0 < t < 1, 证明c = (1-t)a+tb ∈ S的闭包.
对c的任意邻域U, 存在a的邻域V与b的邻域W使得(1-t)V+tW ⊆ U (*).
由a ∈ S的闭包, 存在x ∈ S∩V. 同理, 存在y ∈ S∩W.
可验证z = (1-t)x+ty ∈ (1-t)V+tW ⊆ U.
且由S是凸集, x, y ∈ S, 可知z = (1-t)x+ty ∈ S, 故z ∈ S∩U.
在c的任意邻域内都有S中的点, 即得c ∈ S的闭包.
(*)处的理由是: 对拓扑线性空间X, 映射: φ: X×X → X, φ(a,b) = (1-t)a+tb是连续的.
因此c的邻域在φ下的原像是(a,b)的邻域.