设函数f(x)在[a,b]上连续,在（a,b)内可导,且f(a)=f(b)=0,试证在（a,b)内至少存在一点x,使f'(x)-f(x)=0

Question

设函数f(x)在[a,b]上连续,在（a,b)内可导,且f(a)=f(b)=0,试证在（a,b)内至少存在一点x,使f'(x)-f(x)=0

Answer 1

构造函数F(x)=[e^(-x)]*f(x),则F'(x)=[e^(-x)]*[f'(x)-f(x)].
根据题设条件得F(a)=F(b)=0,故至少存在一点ξ∈(a,b)使得F'(ξ)=0.（罗尔定理）
即在（a,b)内至少存在一点x,使f'(x)-f(x)=0.