（2013•汕头一模）如图所示，一质量为m的小球C用轻绳悬挂在O点．小球下方有一质量为2m的平板车B静止在光滑水平地面上，小球的位置比车板略高．一质量为m的物块A以大小为v0的初速度向

Question

（2013•汕头一模）如图所示，一质量为m的小球C用轻绳悬挂在O点．小球下方有一质量为2m的平板车B静止在光滑水平地面上，小球的位置比车板略高．一质量为m的物块A以大小为v₀的初速度向左滑上平板车，此时A、C间的距离为d．一段时间后，物块A与小球C发生碰撞，碰撞时两者的速度互换，且碰撞时间极短．已知物块与平板车间的动摩擦因数为μ，重力加速度为g．
（1）若A碰C之前物块与平板车已达共同速度，要使碰后小球能绕O点做完整的圆周运动，轻绳的长度l应满足什么条件？
（2）若A碰C之前物块与平板车已达共同速度，求d和v₀之间满足的关系和碰后物块与平板车最后共同的速度v．
（3）若A碰C之前物块与平板车未达共同速度，求碰后物块与平板车最后共同的速度v与v₀和d的关系．

Answer 1

（1）A碰C前与平板车速度达到相等，由动量守恒定律得
mv₀=（m+2m）v′
A碰C后，C以速度v′开始做完整的圆周运动，由机械能守恒定律得
(1)/(2)mv′²=mg•2l+(1)/(2)mv″²
小球经过最高点时，有
mg≤(mv″2)/(l)
解得l≤(v20)/(45 g)
（2）A碰C前与平板车速度达到相等，设整个过程A的位移是x，
由动能定理得：μmgx=(1)/(2)m（

v

2 0

-v′²）
将v′=(v0)/(3)代入解得
x=(4v20)/(9μg)
满足的条件是d≥(4v20)/(9μg)
A碰C后，对A、B组成的系统由动量守恒定律得
2mv′=（m+2m）v
解得物块与平板车的共同速度为v=(2v0)/(9)
（3）A碰C前与平板车速度未达到相等，在这个过程中A一直做减速运动，
由动能定理得
μmgd=(1)/(2)m（

v

2 0

-

v

2 A

）
在A与C碰前、后，对A、B组成的系统由动量守恒定律得
mv₀=mv_A+2mv_B
2mv_B=（m+2m）v
解得物块与平板车的共同速度为
v=(1)/(3)（v₀-√(v20−2μgd)） 方向水平向左
相应的条件是d＜(4v20)/(9μg)
答：（1）若A碰C之前物块与平板车已达共同速度，要使碰后小球能绕O点做完整的圆周运动，轻绳的长度l应满足l≤

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