已知平面图形ABCD为凸四边形（凸四边形即任取平面四边形一边所在的直线，其余各边均在此直线的同侧），且AB=2，BC=4，CD=5，DA=3，则四边形ABCD面积S的最大值为（）A.30B.230C.430D.630

Question

已知平面图形ABCD为凸四边形（凸四边形即任取平面四边形一边所在的直线，其余各边均在此直线的同侧），且AB=2，BC=4，CD=5，DA=3，则四边形ABCD面积S的最大值为（　　）

A.

√(30)

B. 2

√(30)

C. 4

√(30)

D. 6

√(30)

Answer 1

设AC=x，在△ABC中，由余弦定理可得，
x²=2²+4²-2×2×4cosB=20-16cosB，
在△ACD中，由余弦定理可得，
x²=3²+5²-2×3×5cosD=34-30cosD，
即有15cosD-8cosB=7，
又四边形ABCD面积S=(1)/(2)×2×4sinB+(1)/(2)×3×5sinD
=(1)/(2)（8sinB+15sinD），
即有8sinB+15sinD=2S，
又15cosD-8cosB=7，
两式两边平方可得，64+225+240（sinBsinD-cosBcosD）=49+4s²，
化简可得，-240cos（B+D）=4S²-240，
由于-1≤cos（B+D）<1，即有S≤2√(30)．
当cos（B+D）=-1即B+D=π时，4S²-240=240，
解得S=2√(30)．
故S的最大值为2√(30)．
故选B．