右图为一无限长的电阻线路.求a、b点之间的等效电阻

Question

右图为一无限长的电阻线路.求a、b点之间的等效电阻

Answer 1

可以建立如下的电阻数列模型{R(n)}
它由以下的递推关系唯一确定：
R1=2(Ω)
R(n+1)=1+[R(n)/[R(n)+1]](串联加并联)
将该式子整理得到
R(n+1)+[1/[R(n)+1]]=2
为了计算简便,我们不妨将数列{R(n)+1}视作一个新数列{X(n)}
于是有:
X(n+1)+[1/X(n)]=3
再整理得到X(n+1)=[3X(n)-1]/X(n)
用不动点法求数列通项公式:(本来我不知道该怎么求这个数列的通项,这是我在百度知道上学来的)
令X(n+1)=X(n)=x
得方程x^2-3X+1=0
求出两根x1=(3+√5)/2,x2=(3-√5)/2
那么数列{[X(n)-x1]/[X(n)-x2]}是等比数列(此结论是怎么来的要到大学才会学)
设为B(n)=[X(n)-(3-√5)/2]/[X(n)-(3+√5)/2]
通过对该数列的前两项的研究(因为是等比数列,计算过程略去)
得到其公比与首相均为(7+3√5)/2
于是得到数列B(n)的通项公式B(n)=[(7+3√5)/2]^n
于是有[X(n)-(3-√5)/2]/[X(n)-(3+√5)/2]=[(7+3√5)/2]^n
解出X(n)={√5/{(7+3√5)/2]^n}-1}+(3+√5)/2
得到R(n)=X(n)-1={√5/{(7+3√5)/2]^n}-1}+(1+√5)/2
a、b点之间的等效电阻R=limR(n)
n→∞
当n→∞时,因为(7+3√5)/2>1,所以{(7+3√5)/2]^n}-1→∞,故√5/{(7+3√5)/2]^n}-1→0
R=limR(n)=(1+√5)/2≈1.618(Ω)
n→∞