在证明不等式时什么时候可以根据轮换对称用到不妨设(例如不妨设a+b+c=1)且不妨设该怎么用最好有例子

Question

在证明不等式时 什么时候可以根据轮换对称用到不妨设 (例如 不妨设a+b+c=1) 且不妨设该怎么用 最好有例子

Answer 1

不妨设a+b+c=1不是因为轮换对称性哦,而是因为分子分母的齐次性啊亲.
比如证明 不等式当a,b,c>0时 a/(b+c) + b/(a+c) + c/(a+b)>=3/2 对左边进行恒等变形,每一项都分子分母同除以(a+b+c) 这是如果你令a'=a/(a+b+c) b'=b/(a+b+c) c'=c/(a+b+c)
则原不等式等价于证 a'/(b'+c') + b'/(a'+c') + c'/(a'+b')>=3/2 .而此时 a'+b'+c'=1!所以不妨一开始就假设 a+b+c=1 不妨设abc=1是一样的道理,都是因为分子分母的次数一样（这里都是一次）
如果有对称的关系,一般是可以假设变量间的大小关系