在水平放置的可旋转的圆台上面放一劲度系数为k、质量可忽略不计的轻弹簧．它的一端固定在轴上，另一端拴一质量为m的小物体A，这时弹簧没有形变，长为l0，如图所示．A与盘面间的动摩

Question

在水平放置的可旋转的圆台上面放一劲度系数为k、质量可忽略不计的轻弹簧．它的一端固定在轴上，另一端拴一质量为m的小物体A，这时弹簧没有形变，长为l₀，如图所示．A与盘面间的动摩擦因数为μ，且设最大静摩擦力等于滑动摩擦力．盘由静止起转动，角速度逐渐增大．
（1）当盘以某角速度ω₀旋转时，A相对盘面滑动，求ω₀．
（2）当角速度增为ω₁时，求A随盘作圆周运动的最大半径l₁．
（3）当角速度由ω₁减小时，物体能在半径为l₁的原轨道上作圆周运动，求这时的角速度ω₂．

Answer 1

（1）A相对于盘面没有滑动时，由静摩擦力提供圆周运动向心力，故有：f=mrω²
可得圆盘转动的角速度为：ω=√((f)/(mr))，
故静摩擦力越大则角速度越大，当物体以ω₀转动时A相对于盘面滑动时，此时对应物体与盘面间的最大静摩擦力，故有：
ω0＝√((fmax)/(ml0))＝√((μmg)/(ml0))＝√((μg)/(l0))
（2）当角速度为ω₁时，A随盘做圆周运动，弹簧弹力与摩擦力的合力提供圆周运动向心力故有：
k(l1−l0)+f＝ml1

ω

2 1

解得：l1＝(f−kl0)/(mω21−k)
由表达式可知，摩擦力f越大则半径越大，故最大半径对应摩擦力取最大静摩擦力时，即为：
l1＝(μmg−kl0)/(mω21−k)
（3）当角速度为ω时，A随盘做圆周运动，弹簧弹力与摩擦力的合力提供圆周运动向心力故有：
k(l1−l0)+f＝ml1ω2
解得：ω＝√((k(l1−l0)+f)/(ml1))
在保持半径不变，角速度ω随摩擦力f的变化而变化，由数学关系可知：
当摩擦力取最大值且与弹力方向一致时角速度有最大值最大值为：
ωmax＝√((k(l1−l0)+μmg)/(ml1))，
同理当摩擦力取是大值且与弹力方向相反时角速度有最小值最小值为：
ωmin＝√((k(l1−l0)−μmg)/(ml1))
所以满足题意的角速度ω₂取值范围为：
√((k(l1−l0)−μmg)/(ml1))≤ω2≤√((k(l1−l0)+μmg)/(ml1))
答：（1）当盘以某角速度ω₀旋转时，A相对盘面滑动，ω₀=√((μg)/(l0))．
（2）当角速度增为ω₁时，A随盘作圆周运动的最大半径l1＝(μmg−kl0)/(mω21−k)
（3）当角速度由ω₁减小时，物体能在半径为l₁的原轨道上作圆周运动，这时的角速度√((k(l1−l0)−μmg)/(ml1))≤ω2≤√((k(l1−l0)+μmg)/(ml1))