已知数列{an}的通项公式an=logn+1（n+2）（n∈N+），记Jn=a1•a2•a3•…•an为数列{an}的前n项积．定义能使Jn为整数的正整数n为劣数，则在区间（1，2014）内所有的劣数和为（）A．2026B．2046C

Question

已知数列{a_n}的通项公式a_n=log_n+1（n+2）（n∈N₊），记J_n=a₁•a₂•a₃•…•a_n为数列{a_n}的前n项积．定义能使J_n为整数的正整数n为劣数，则在区间（1，2014）内所有的劣数和为（　　）

A．2026
B．2046
C．1024
D．1022

Answer 1

∵a_n=log_n+1（n+2），（n∈N^*），
∴a₁•a₂•a₃…a_k=(lg3)/(lg2)•(lg4)/(lg3)•…•(lg(k+2))/(lgk+1)=log₂（k+2），
又∵a₁•a₂•a₃…a_k为整数，
∴k+2必须是2的n次幂（n∈N^*），即k=2ⁿ-2；
又k∈[1，2014]，∴1≤2ⁿ-2≤2014，∴取2≤n≤10；
∴在区间（1，2014）内所有的劣数和：
M=（2²-2）+（2³-2）+（2⁴-2）+…+（2¹⁰-2）=(22−211)/(1−2)-2×9=2026．
故选：A．