已知an=log（n+1）（n+2）（n∈N+），我们将乘积a1⋅a2⋅…⋅an为整数的数n叫做“劣数”，则在区间（1，2006）内的所有劣数之和记为M，则M=（）A．1024B．2003C．2026D．2048

Question

已知a_n=log_（n+1）（n+2）（n∈N₊），我们将乘积a₁⋅a₂⋅…⋅a_n为整数的数n叫做“劣数”，则在区间（1，2006）内的所有劣数之和记为M，则M=（　　）

A．1024
B．2003
C．2026
D．2048

Answer 1

由对数的运算性质及a_n=log_（n+1）（n+2）（n∈N₊），得a₁⋅a₂⋅…⋅a_n=log₂（n+2），令log₂（n+2）=k，k∈z
故n=2^k-2，k∈z
又n∈N₊，故最小的n为2，又2¹¹-2＞2006，2¹⁰-2＜2006故n的最小值是10
由此知，符合条件的劣数组成的数列为{2^r-2}，r=2，…，10
故M=(4×(1-29))/(1-2)-2×9=2026
故选C