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如图,MN是半径为1的⊙O的直径,点A在⊙O上,∠AMN=30°,点B为劣弧AN的中点.点P是直径MN上一动点,求PA+PB的最小值.
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如图,MN是半径为1的⊙O的直径,点A在⊙O上,∠AMN=30°,点B为劣弧AN的中点.点P是直径MN上一动点,求PA+PB的最小值.
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▼优质解答
答案和解析
作点B关于MN的对称点B′,连接OA、OB、OB′、AB′,
则AB′与MN的交点即为PA+PB的最小时的点,PA+PB的最小值=AB′,
∵∠AMN=30°,
∴∠AON=2∠AMN=2×30°=60°,
∵点B为劣弧AN的中点,
∴∠BON=∠AON=
×60°=30°,
由对称性,∠B′ON=∠BON=30°,
∴∠AOB′=∠AON+∠B′ON=60°+30°=90°,
∴△AOB′是等腰直角三角形,
∴AB′=
OA=
×1=
,
即PA+PB的最小值=
.
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则AB′与MN的交点即为PA+PB的最小时的点,PA+PB的最小值=AB′,
∵∠AMN=30°,
∴∠AON=2∠AMN=2×30°=60°,
∵点B为劣弧AN的中点,
∴∠BON=∠AON=
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由对称性,∠B′ON=∠BON=30°,
∴∠AOB′=∠AON+∠B′ON=60°+30°=90°,
∴△AOB′是等腰直角三角形,
∴AB′=
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即PA+PB的最小值=
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