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设f(x)在x=0某邻域内有界,且f(x)—1/2f(x/2)=x^2,求f(x).
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设f(x)在x=0某邻域内有界,且f(x)—1/2f(x/2)=x^2,求f(x).
▼优质解答
答案和解析
f(x)-1/2*f(x/2)=x^2 ( 1)
f(x/2)-1/2*f(x/4)=(x/2)^2 (2)
.
f(x/2n)-1/2*f(x/2n+2)=(x/2n)^2 ( k)
将(1)+1/2*(2)+1/4*(3)+.+1/ 2^(n-1) *(k)
得:f(x)+1/(2^n)f(x/2n)=x^2+1/2*(x/2)^2+1/4*(x/4)^2+.+1/2^(n-1)*(x/2^(n-1))^2
f(x)+1/(2^n)f(x/2n)=x^2(1-(1/8)^n)/(1-1/8)
两边取极限n趋于无穷
f(x)+f(0)=8/7*x^2 f（0）=0
f(x)=8/7 *x^2
答案是正确的
我试过了
f(x/2)-1/2*f(x/4)=(x/2)^2 (2)
.
f(x/2n)-1/2*f(x/2n+2)=(x/2n)^2 ( k)
将(1)+1/2*(2)+1/4*(3)+.+1/ 2^(n-1) *(k)
得:f(x)+1/(2^n)f(x/2n)=x^2+1/2*(x/2)^2+1/4*(x/4)^2+.+1/2^(n-1)*(x/2^(n-1))^2
f(x)+1/(2^n)f(x/2n)=x^2(1-(1/8)^n)/(1-1/8)
两边取极限n趋于无穷
f(x)+f(0)=8/7*x^2 f（0）=0
f(x)=8/7 *x^2
答案是正确的
我试过了
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