设函数列{fn（x）}与{gn（x）}在区间I上分别一致收敛于f（x）与g（x），且假定f（x）与g（x）都在I上有界．试证明：{fn（x）•gn（x）}在区间I上一致收敛于f（x）•g（x）．

Question

设函数列{f_n（x）}与{g_n（x）}在区间I上分别一致收敛于f（x）与g（x），且假定f（x）与g（x）都在I上有界．试证明：{f_n（x）•g_n（x）}在区间I上一致收敛于f（x）•g（x）．

Answer 1

因为f（x）与g（x）都在I上有界，函数列{f_n（x）}与{g_n（x）}在区间I上分别一致收敛于f（x）与g（x），
故存在M>0，使得|f（x）|≤M，|f_n（x）|≤M，|g（x）|≤M，|g_n（x）|≤M．
因为函数列{f_n（x）}与{g_n（x）}在区间I上分别一致收敛于f（x）与g（x），
所以∀ɛ>0，∃N（仅与ɛ有关），∀x∈I，
|f_n（x）-f（x）|<(ɛ)/(2M)，|g_n（x）-g（x）|<(ɛ)/(2M)．
从而，
|f_n（x）g_n（x）-f（x）g（x）|
≤|f_n（x）g_n（x）-f_n（x）g（x）|+|f_n（x）g（x）-f（x）g（x）|
=|f_n（x）|g_n（x）-g（x）|+|g（x）||f_n（x）-f（x）|
<M•(ɛ)/(2M)+M•(ɛ)/(2M)
=ɛ，
故f_n（x）•g_n（x）}在区间I上一致收敛于f（x）•g（x）．