在1和2之间插入n个正数a1,a2,a3,.an使这n+1个数成等比数列,又在1与2之间插入n个正数b1,b2,b3,.bn使这n+2个数成等差数列,记An=a1a2a3...an,Bn=b1+b2+b3+...+bn;(1)求数列{An}和{Bn}的通项(2)当n大于等于7时比较An

Question

在1和2之间插入n个正数a1,a2,a3,.an使这n+1个数成等比数列,又在1与2之间插入n个正数b1,b2,b3,.bn使这n+2个数成等差数列,记An=a1a2a3...an,Bn=b1+b2+b3+...+bn;(1)求数列{An}和{Bn}的通项(2)当n大于等于7时比较An和Bn的大小并证明你的结论.
定义在R上的函数f(x)满足:如果对任意x1,x2∈R都有f[(x1+x2)/2]小于等于[f(x1)+f(x2)]/2,则称f(x)为R上的凸函数;以知二次函数f(x)=axx+x(a∈R,a不等于0)
(1)求证:当a大于0时,函数f(x)为凸函数
(2)如果x∈[0,1]时｜f(x)｜≤1,试求实数a的取值范围.
设等差数列{an}共有3n项,它的前2n项之和是60,后2n项之和是100,则该数列的中间n项之和是__

Answer 1

1(1):只要求出公差和公比就好.
公差是1/(n+1),公比是2开n+1次跟号.别告诉我你往下还不会.
(2):通项都知道了,就算出来看看呗：
设n个数的时候公比=qn=2开n+1次跟号,公差=dn=1/(n+1)
An = qn * qn^2 * qn^3 * ...* qn^n
= qn的(1+2+..+n)次方=qn的(1+n)*n/2次方
（注意qn的n+1次方是2）所以An=2的n/2次方
Bn = (1+dn)+(1+2dn)+...+(1+n*dn)
= n+dn*(1+2+...+n)=n+dn*(1+n)*n/2
（注意dn*(n+1)=1）所以Bn=n+1*n/2=3n/2
考虑这两个函数A(x)=2的x/2次方,B(x)=3x/2,
A(x)在x比较小的时候在B(x)下方,当x比较大的时候就在B(x)上方了.
因此n>=7的时候结论是A(x)比B(x)大.证明就把上面这写写上就好.
2.(1)套定义,算一下：对任意的x1,x2,
f(x1)+f(x2)=ax1平方+x1+ax2平方+x2
f((x1+x2)/2)=a((x1+x2)/2)平方+(x1+x2)/2
下面是比较大小,用下面的式子减去上面的式子.
a((x1+x2)/2)平方-(x1平方+x2平方))-(x1+x2)/2
由均值不等式,知道前面一个括号是负的,而后面也是负的,而且a>0,因此f((x1+x2)/2)0时f(x)是凸的.
(2)分若干情况：
若极值点不在[0,1],则只要两个端点在[-1,1]就行,
若极值点在[0,1],则要极值和两个端点都在[-1,1]才行.
两个端点：f(0)=0;f(1)=a;因此a在[-1,1]
当a0的时候不在.
因此a在(0,1]都可以,a在[-1,0)时还要考虑极值点,这里写太麻烦了你自己算把.
3.40
100+60=2*中间n项+前n项+后n项,
注意到第k项+第2n+k项=2*第n+k项,1