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在▱ABCD中,∠BAD的平分线交直线BC于点E,交直线DC于点F.(1)若∠ABC=90°,G是EF的中点(如图1),求∠BDG的度数;(2)若∠ABC=120°,FG∥CE,FG=CE,分别连接DB、DG(如图2),直接写出∠BDG
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在▱ABCD中,∠BAD的平分线交直线BC于点E,交直线DC于点F.
(1)若∠ABC=90°,G是EF的中点(如图1),求∠BDG的度数;
(2)若∠ABC=120°,FG∥CE,FG=CE,分别连接DB、DG(如图2),直接写出∠BDG的度数.
(1)若∠ABC=90°,G是EF的中点(如图1),求∠BDG的度数;
(2)若∠ABC=120°,FG∥CE,FG=CE,分别连接DB、DG(如图2),直接写出∠BDG的度数.
▼优质解答
答案和解析
(1)连接GC、BG,
∵四边形ABCD为平行四边形,∠ABC=90°,
∴四边形ABCD为矩形,
∵AF平分∠BAD,
∴∠DAF=∠BAF=45°,
∵∠DCB=90°,DF∥AB,
∴∠DFA=45°,∠ECF=90°
∴△ECF为等腰直角三角形,
∵G为EF中点,
∴EG=CG=FG,CG⊥EF,
∵△ABE为等腰直角三角形,AB=DC,
∴BE=DC,
∵∠CEF=∠GCF=45°,
∴∠BEG=∠DCG=135°
在△BEG与△DCG中,
∵
,
∴△BEG≌△DCG,
∴BG=DG,
∵CG⊥EF,
∴∠DGC+∠DGA=90°,
又∵∠DGC=∠BGA,
∴∠BGA+∠DGA=90°,
∴△DGB为等腰直角三角形,
∴∠BDG=45°.
(2)延长AB、FG交于H,连接HD.
∵AD∥GF,AB∥DF,
∴四边形AHFD为平行四边形
∵∠ABC=120°,AF平分∠BAD
∴∠DAF=30°,∠ADC=120°,∠DFA=30°
∴△DAF为等腰三角形
∴AD=DF,
∴CE=CF,
∴平行四边形AHFD为菱形,
∴△ADH,△DHF为全等的等边三角形,
∴DH=DF,∠BHD=∠GFD=60°.
∵FG=CE,CE=CF,CF=BH,
∴BH=GF.
在△BHD与△GFD中,
∵
,
∴△BHD≌△GFD,
∴∠BDH=∠GDF,
∴∠BDG=∠BDH+∠HDG=∠GDF+∠HDG=60°.
∵四边形ABCD为平行四边形,∠ABC=90°,
∴四边形ABCD为矩形,
∵AF平分∠BAD,
∴∠DAF=∠BAF=45°,
∵∠DCB=90°,DF∥AB,
∴∠DFA=45°,∠ECF=90°
∴△ECF为等腰直角三角形,
∵G为EF中点,
∴EG=CG=FG,CG⊥EF,
∵△ABE为等腰直角三角形,AB=DC,
∴BE=DC,
∵∠CEF=∠GCF=45°,
∴∠BEG=∠DCG=135°
在△BEG与△DCG中,
∵
|
∴△BEG≌△DCG,
∴BG=DG,
∵CG⊥EF,
∴∠DGC+∠DGA=90°,
又∵∠DGC=∠BGA,
∴∠BGA+∠DGA=90°,
∴△DGB为等腰直角三角形,
∴∠BDG=45°.
(2)延长AB、FG交于H,连接HD.
∵AD∥GF,AB∥DF,
∴四边形AHFD为平行四边形
∵∠ABC=120°,AF平分∠BAD
∴∠DAF=30°,∠ADC=120°,∠DFA=30°
∴△DAF为等腰三角形
∴AD=DF,
∴CE=CF,
∴平行四边形AHFD为菱形,
∴△ADH,△DHF为全等的等边三角形,
∴DH=DF,∠BHD=∠GFD=60°.
∵FG=CE,CE=CF,CF=BH,
∴BH=GF.
在△BHD与△GFD中,
∵
|
∴△BHD≌△GFD,
∴∠BDH=∠GDF,
∴∠BDG=∠BDH+∠HDG=∠GDF+∠HDG=60°.
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