如图1，直线y＝34x−1与抛物线y＝−14x2交于A、B两点（A在B的左侧），与y轴交于点C．（1）求线段AB的长；（2）若以AB为直径的圆与直线x=m有公共点，求m的取值范围；（3）如图2，把抛物线向

Question

如图1，直线y＝(3)/(4)x−1与抛物线y＝−(1)/(4)x2交于A、B两点（A在B的左侧），与y轴交于点C．
（1）求线段AB的长；
（2）若以AB为直径的圆与直线x=m有公共点，求m的取值范围；
（3）如图2，把抛物线向右平移2个单位，再向上平移n个单位（n＞0），抛物线与x轴交于P、Q两点，过C、P、Q三点的圆的面积是否存在最小值？若存在，请求出这个最小值和此时n的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

由题意：

y＝(3)/(4)x−1

y＝−(1)/(4)x2

，
解得：x²+3x-4=0，
即x=-4或x=1．
代入求得y=-4或-(1)/(4)，

x＝−4

y＝−4

或

x＝1

y＝−(1)/(4)

，
即点A（-4，-4）B（1，-(1)/(4)），
则AB=√(52+((15)/(4))2)＝(25)/(4)；

（2）由（1）可得A，B中点即圆的圆心点O为（-(3)/(2)，-(17)/(8)），
半径为(1)/(2)AB=(25)/(8)，
∵以AB为直径的圆与x=m②有公共点，
∴-(3)/(2)-(25)/(8)≤m≤-(3)/(2)+(25)/(8)，
即-(37)/(8)≤m≤(13)/(8)；

（3）抛物线平移后为：y＝−(1)/(4)(x−2)2+n．
存在．
理由如下：抛物线平移后为：y＝−(1)/(4)(x−2)2+n，其对称轴是x=2．
由于过P、Q的圆的圆心必在对称轴上，要使圆的面积最小，则圆的半径要最小，
即点C到圆心的距离要最短，过C作CE垂直抛物线的对称轴，垂足为E，
则符合条件的圆是以E为圆心，EC长为半径的圆，
其面积为4π，n的值0.75．