已知圆C的圆心在直线y=-4x上，且与直线x+y-1=0相切于点P（3，-2）．（Ⅰ）求圆C方程；（Ⅱ）点M（0，1）与点N关于直线x-y=0对称．是否存在过点N的直线l，l与圆C相交于E，F两点，且使三角形S△

Question

已知圆C的圆心在直线y=-4x上，且与直线x+y-1=0相切于点P（3，-2）．
（Ⅰ）求圆C方程；
（Ⅱ）点M（0，1）与点N关于直线x-y=0对称．是否存在过点N的直线l，l与圆C相交于E，F两点，且使三角形S△OEF＝2√(2)（O为坐标原点），若存在求出直线l的方程，若不存在用计算过程说明理由．

Answer 1

（Ⅰ）过切点P（3，2）且与x+y-1=0垂直的直线为y+2=x-3，即y=x-5．（1分）
与直线y=-4x联立

y＝x−5

y＝−4x

，解得x=1，y=-4，
∴圆心为（1，-4），…（2分）
∴半径r＝√((3−1)2+(−2+4)2)＝2√(2)，
∴所求圆的方程为（x-1）²+（y+4）²=8．…（4分）
（Ⅱ）设N（a，b），∵点M（0，1）与点N关于直线x-y=0对称，
∴

(b+1)/(2)＝(a)/(2)

(b−1)/(a)＝−1

，解得a=1，b=0，∴N（1，0）．…（5分）
①当斜率不存在时，此时直线l方程为x=1，
原点到直线的距离为d=1，
同时令x=1代入圆方程得
y=-4±2√(2)，∴|EF|=4√(2)，
∴S_OEF=(1)/(2)×1×4√(2)=2√(2)满足题意，
此时方程为x=1．…（8分）
②当斜率存在时，设直线l的方程为y=k（x-1），
圆心C（1，-4）到直线l的距离d=(|k+4−k|)/(√(k2+1))=(4)/(√(k2+1))，…（9分）
设EF的中点为D，连接CD，则必有CD⊥EF，
在Rt△CDE中，DE=√(8−d2)=√(8−(16)/(k2+1))=(2√(2)√(k2−1))/(√(k2+1))，
∴EF=(4√(2)√(k2−1))/(√(k2+1))，原点到直线l的距离d1＝(|k|)/(√(k2+1))，…（10分）
∴S_△OEF=(1)/(2)•(4√(2)√(k2−1))/(√(k2+1))•(|k|)/(√(k2+1))=2√(2)，…（12分）
整理，得3k²+1=0，不存在这样的实数k．
综上所述，所求的直线方程为x=1．…（14分）