已知：△ABC中，AB＜BC，AC的中点为M，MN⊥AC交∠ABC的角平分线于N．（1）如图1，若∠ABC=60°，求证：BA+BC=3BN；（2）如图2，若∠ABC=120°，则BA、BC、BN之间满足什么关系式，并对你得出的结论给

Question

已知：△ABC中，AB＜BC，AC的中点为M，MN⊥AC交∠ABC的角平分线于N．
（1）如图1，若∠ABC=60°，求证：BA+BC=√(3)BN；
（2）如图2，若∠ABC=120°，则BA、BC、BN之间满足什么关系式，并对你得出的结论给予证明．

Answer 1

（1）证明：连接AN、CN，过点N作NE⊥AB于点E，NF⊥BC于点F，
∵BN是∠ABC的角平分线，
∴NE=NF，
∵AC的中点为M，MN⊥AC，
∴AN=NC，
在Rt△ANE和Rt△CNF中，

BN＝BN

NE＝NF

，
∴Rt△ANE≌Rt△CNF（HL），
∴AE=CF，
∴BA+BC=BE-AE+BF+CF=2BF，
∵∠ABC=60°，BN平分∠ABC，
∴∠NBF=(1)/(2)×60°=30°，
∴cos30°=(BF)/(BN)=((1)/(2)(BA+BC))/(BN)=(√(3))/(2)，
∴BA+BC=√(3)BN；

（2）连接AN、CN，在BC上截取BE=AB，
∵BN是∠ABC的角平分线，
∴∠ABN=∠EBN，
在△ABN和△EBN中，

BN＝BN

∠ABN＝∠EBN

BE＝AB

，
∴△ABN≌△EBN（SAS），
∴NA=NE，
∵AC的中点为M，MN⊥AC，
∴NA=NC，
∴NE=NC，
过点N作NF⊥BC于点F，
则EF=(1)/(2)EC=(1)/(2)（BC-BA），
∴BF=BE+EF=BA+(1)/(2)（BC-BA）=(1)/(2)（BC+BA），
∵∠ABC=120°，BN平分∠ABC，
∴∠NBF=(1)/(2)×120°=60°，
∴cos60°=(BF)/(BN)=((1)/(2)(BC+BA))/(BN)=(1)/(2)，
∴BA+BC=BN．