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如图,在平面直角坐标系中,直线y=-34x+b分别与x轴、y轴交于点A、B,且点A的坐标为(8,0),四边形ABCD是正方形.(1)填空:b=;(2)求点D的坐标;(3)点M是线段AB上的一个动点(点
题目详情
如图,在平面直角坐标系中,直线y=-
x+b分别与x轴、y轴交于点A、B,且点A的坐标为(8,0),四边形ABCD是正方形.
(1)填空:b=______;
(2)求点D的坐标;
(3)点M是线段AB上的一个动点(点A、B除外),试探索在x上方是否存在另一个点N,使得以O、B、M、N为顶点的四边形是菱形?若不存在,请说明理由;若存在,请求出点N的坐标.
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(1)填空:b=______;
(2)求点D的坐标;
(3)点M是线段AB上的一个动点(点A、B除外),试探索在x上方是否存在另一个点N,使得以O、B、M、N为顶点的四边形是菱形?若不存在,请说明理由;若存在,请求出点N的坐标.
▼优质解答
答案和解析
(1)∵直线y=-
x+b分别与x轴、y轴交于点A、B,且点A的坐标为(8,0),
∴-
×8+b=0,
解得:b=6,;
(2)如图1,过点D作DE⊥x轴于点E,
则∠AOB=∠DEA=90°,
∴∠1+∠2=90°,∠2+∠3=90,
∴∠1=∠3,
又∵四边形ABCD是正方形,
∴AB=DA,
∵在△AOB和△DEA中,
∴△AOB≌△DEA(AAS),
∴OA=DE=8,OB=AE=6,
∴OE=OA+AE=8+6=14,
∴点D的坐标为(14,8);
(3)存在.
①如图2,当OM=MB=BN=NO时,四边形OMBN为菱形.连接NM,交OB于点P,则NM与OB互相垂直平分,
∴OP=
OB=3,
∴当y=3时,-
x+6=3,
解得:x=4,
∴点M的坐标为(4,3),
∴点N的坐标为(-4,3).
②如图3,当OB=BN=NM=MO=6时,四边形BOMN为菱形.延长NM交x轴于点P,则MP⊥x轴.
∵点M在直线y=-
x+6上,
∴设点M的坐标为(a,-
a+6)(a>0),
在Rt△OPM中,OP2+PM2=OM2,
即:a2+(-
a+6)2=62,
整理得:
a2-9a=0,
∵a>0,
∴
a-9=0,
解得:a=
,
∴点M的坐标为(
,
),
∴点N的坐标为(
,
).
综上所述,x轴上方的点N有两个,分别为(
,
)和(-4,3).
故答案为:6.
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∴-
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解得:b=6,;
(2)如图1,过点D作DE⊥x轴于点E,
则∠AOB=∠DEA=90°,
∴∠1+∠2=90°,∠2+∠3=90,
∴∠1=∠3,
又∵四边形ABCD是正方形,
∴AB=DA,
∵在△AOB和△DEA中,
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∴△AOB≌△DEA(AAS),
∴OA=DE=8,OB=AE=6,
∴OE=OA+AE=8+6=14,
∴点D的坐标为(14,8);
(3)存在.
①如图2,当OM=MB=BN=NO时,四边形OMBN为菱形.连接NM,交OB于点P,则NM与OB互相垂直平分,
∴OP=
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∴当y=3时,-
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解得:x=4,
∴点M的坐标为(4,3),
∴点N的坐标为(-4,3).
②如图3,当OB=BN=NM=MO=6时,四边形BOMN为菱形.延长NM交x轴于点P,则MP⊥x轴.
∵点M在直线y=-
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∴设点M的坐标为(a,-
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在Rt△OPM中,OP2+PM2=OM2,
即:a2+(-
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整理得:
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∵a>0,
∴
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解得:a=
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∴点M的坐标为(
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∴点N的坐标为(
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192 |
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综上所述,x轴上方的点N有两个,分别为(
144 |
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故答案为:6.
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