在△ABC中,设a,b,c分别为∠A,∠B,∠C的对边,∠A的平分线AD交BC于D,且∠A=60度1,求证AD＝根号3bc/b+c2,若BD：DC＝2：1,且AD＝4根号3,求△ABC三边的长

Question

在△ABC中,设a,b,c分别为∠A,∠B,∠C的对边,∠A的平分线AD交BC于D,且∠A=60度
1,求证AD＝根号3bc/b+c 2,若BD：DC＝2：1,且AD＝4根号3,求△ABC三边的长

Answer 1

1）证明：过点C作直线CE//AD,交BA的延长线于点E
过A作AF垂直EC于点F
因为AD平分角BAC,角A=60°
所以角BAD=角CAD=30°
因为CE//AD,所以角BAD=角E,角CAD=角ECA
所以角E=角ECA=30°,
所以三角形ACE是等腰三角形
因为AF垂直EC,所以EF=CF（“三线合一”）
根据题意可得CE=b*根号3
根据题意易证三角形BAD相似于三角形BEC
所以BA：BE=AD:EC,代入得要证明的等式
2)因为三角形BAD相似于三角形BEC
所以BD：BC=AD:EC,
因为BD：DC＝2：1,且AD＝4根号3,
所以b=6,代入AD＝根号3bc/b+c,得C=12,
由余弦定理：b^2+c^2-a^2=2bccosA
解得：a =6根号3