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如图,在直角△ABC中,∠ACB=90°,∠BAC的平分线交BC于D,CE⊥AB于点E,交AD于点F,取BG=CD,连接FG,求证:FG∥AB.
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如图,在直角△ABC中,∠ACB=90°,∠BAC的平分线交BC于D,CE⊥AB于点E,交AD于点F,取BG=CD,连接FG,求证:FG∥AB.
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▼优质解答
答案和解析
证明:作DH⊥AB于H,
∵CE⊥AB,
∴∠CEB=∠DHB=90°,
∴CE∥DH,
∴∠1=∠2,
又∵∠ACB=90°,AD平分∠BAC,![作业搜](https://www.zaojiaoba.cn/2018-08/28/1535429411-4361.jpg)
∴DH=DC,∠3=∠4,
∵∠5=∠6=90°-∠3,
∠7=90°-∠4,
∴∠5=∠7,
∴CD=CF,
∴DH=CF,
∵BG=CD,
∴BG+GD=CD+GD,
即BD=GC,
在△BHD和△GFC中
,
∴△BHD≌△GFC,
∴∠BHD=∠GFC=90°,
∴∠GFC=∠BEC=90°,
∴FG∥AB.
∵CE⊥AB,
∴∠CEB=∠DHB=90°,
∴CE∥DH,
∴∠1=∠2,
又∵∠ACB=90°,AD平分∠BAC,
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∴DH=DC,∠3=∠4,
∵∠5=∠6=90°-∠3,
∠7=90°-∠4,
∴∠5=∠7,
∴CD=CF,
∴DH=CF,
∵BG=CD,
∴BG+GD=CD+GD,
即BD=GC,
在△BHD和△GFC中
|
∴△BHD≌△GFC,
∴∠BHD=∠GFC=90°,
∴∠GFC=∠BEC=90°,
∴FG∥AB.
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