如图（1），已知E是正方形ABCD的边AB上一点，过D作DF⊥DE交BC的延长线于F，连按EF，BD．（1）求证：∠BDE=∠BFE；（2）若EI平分∠BEF交BD于I，求DIEF的值；（3）如图（2），P是CE的中点，若AP⊥PQ

Question

如图（1），已知E是正方形ABCD的边AB上一点，过D作DF⊥DE交BC的延长线于F，连按EF，BD．
（1）求证：∠BDE=∠BFE；
（2）若EI平分∠BEF交BD于I，求(DI)/(EF)的值；
（3）如图（2），P是CE的中点，若AP⊥PQ交∠ADC的外角平分线于Q，连接AQ，求(AQ)/(AP)的值．

Answer 1

（1）证明：如图1中，

∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=DC，∠A=∠DCB=∠DCF=∠ADC=90°，
∵∠EDF=∠ADC=90°，
∴∠ADE=∠CDF，
在△DAE和△DCF中，

∠A=∠DCF

DA=DC

∠ADE=∠CDF

，
∴△DAE≌△DCF，
∴DE=DF，
∴∠DEF=∠DBF=45°，
∵∠EOD=∠BOF，
∴∠EDB=∠BFE．

（2）如图1中，∵EI平分∠BEF，
∴∠BEI=∠FEI，
∵∠EID=∠EBI+∠BEI=45°+∠BEI，∠DEI=∠DEF+∠FEI=45°+∠FEI，
∴∠DEI=∠DIE，
∴DI=DE，
∴(DI)/(EF)=(DE)/(EF)=cos45°=(√(2))/(2)．

（3）如图2中，连接PB、PD，延长AD、PQ交于点O．

在Rt△CBE中，∵PE=PC，
∴PB=PE=PC，
∴∠PBC=∠PCB，
∴∠ABP=∠DCP，
∵AB=CD，
∴△ABP≌△DCP，
∴PA=PD，
∠BAD=∠PDA，
∴∠PAB=∠PDC，
∵∠Q+∠PAQ=90°，∠PAB+∠PAQ=90°，
∴∠O=∠PAB=∠PDC，
∵∠PQD=∠O+∠QDO=45°+∠O，∠PDQ=∠PDC+∠CDQ=45°+∠PDC，
∴∠PQD=∠PDQ，
∴PD=PQ=PA，
∵∠APQ=90°，
∴△PAQ是等腰直角三角形，
∴(AQ)/(AP)=√(2)．